操場追趕相遇問題 - 宇宙數學教室

==問題== 紅鬍子和藍鬍子在two piece國中的操場跑步，兩人同時同地逆時針出發，紅鬍子跑步速度比藍 ... 日誌首頁 教室簡介、課表與收費 指導學生榜單 歷屆基測、會考數學試題詳解 非關數學、無關教育 稀罕書籍 高中數學補充習題 2021年4月12日星期一 操場追趕相遇問題 ==問題== 紅鬍子和藍鬍子在twopiece國中的操場跑步，兩人同時同地逆時針出發，紅鬍子跑步速度比藍鬍子快，當藍鬍子第一次被紅鬍子從背後追上時，藍鬍子馬上轉身沿順時針方向跑。

兩人的跑步速度維持不變，當兩人第二次相遇時，紅鬍子恰好跑了四圈，請問紅鬍子的速度是藍鬍子的幾倍？==解答==首先進行以下假定：紅鬍子的速度為，每單位時間內，移動x單位距離；藍鬍子的速度為，每單位時間內，移動y單位距離；操場一圈的長度為d單位。

由題目條件「紅鬍子跑步速度比藍鬍子快」，所以可知$x>y$，從而可知，每單位時間內，紅鬍子會超過藍鬍子$x-y$單位。

兩人第1次相遇時，意味著紅鬍子所移動的距離，剛好比藍鬍子多1圈，也就是d單位。

因此可知兩人第1次相遇的時刻為$\frac{d}{x-y}$。

因為我們假定紅鬍子在每單位時間中，會移動x單位距離，所以紅鬍子跑完1圈需時$\frac{d}{x}$單位時間。

根據題目條件「兩人第二次相遇時，紅鬍子恰好跑了四圈」，所以兩人第2次相遇的時刻為$\frac{d}{x}\times4$。

現在讓我們來思考第1次相遇和第2次相遇之間的這段過程。

在第2次相遇時，題目說「紅鬍子恰好跑了四圈」，這表示兩人第2次相遇的位置是在出發點。

如果我們用指針式時鐘來想像，假設紅、藍鬍子一開始都是從鐘面數字12出發，然後在鐘面數字8的位置第1次相遇，於是因為藍鬍子立即折返，所以藍鬍子接下來的位置依序會是$8\rightarrow9\rightarrow10\rightarrow\cdots$，而紅鬍子接下來的位置依序是$8\rightarrow7\rightarrow6\rightarrow\cdots$。

我們剛剛已經知道兩人第2次相遇的位置是在出發點，也就是鐘面數字12的位置。

那麼現在就清楚了，從第1次相遇到第2次相遇為止，兩人的位置分別依序是藍鬍子：$8\rightarrow9\rightarrow10\rightarrow11\rightarrow12$；紅鬍子： $8\rightarrow7\rightarrow6\rightarrow5\rightarrow4\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\rightarrow12$。

仔細觀察就可發現，兩人在這段時間（第1次相遇到第2次相遇）之內，移動距離的總和正好是整圈！在前面我們已經知道了第1次相遇的時刻為$\frac{d}{x-y}$，第2次相遇的時刻為$\frac{d}{x}\times4$，所以從第1次相遇到第2次相遇為止，一共經過了$\frac{4d}{x}-\frac{d}{x-y}$單位時間。

代入前面關於速度的假設，可以得到$$\underbrace{x\cdot\left(\frac{4d}{x}-\frac{d}{x-y}\right)}_{紅鬍子移動距離}+\underbrace{y\cdot\left(\frac{4d}{x}-\frac{d}{x-y}\right)}_{藍鬍子移動距離}=\underbrace{d}_{整圈長度}$$化簡此式。

以分配律展開得$$4d-\frac{dx}{x-y}+\frac{4dy}{x}-\frac{dy}{x-y}=d,$$因為距離$d\ne0$，所以等式兩邊同時約掉d，得$$4-\frac{x}{x-y}+\frac{4y}{x}-\frac{y}{x-y}=1.$$為了消去分母，等式左右兩邊同時乘以$x(x-y)$，得$$4x(x-y)-x^2+4y(x-y)-xy=x(x-y),$$再以分配律展開，並進行同類項化簡後，可得$$x^2-2y^2=0.$$即可解出$$\frac{x}{y}=\sqrt{2}.$$因此紅鬍子的速度是藍鬍子的$\sqrt{2}$倍。

==出處== 張貼者： 周伯欣 於 下午1:04 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 相遇, 追趕, 國中數學, 速度, 繞圈 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 本教室臉書粉絲頁 搜尋此網誌 網誌存檔 ►  2022 (25) ►  九月 (4) ►  七月 (4) ►  六月 (1) ►  五月 (9) ►  四月 (4) ►  三月 (1) ►  一月 (2) ▼  2021 (25) ►  十一月 (2) ►  十月 (2) ►  九月 (2) ►  八月 (2) ►  七月 (1) ►  五月 (3) ▼  四月 (2) 空間中的平面的參數式 操場追趕相遇問題 ►  二月 (1) ►  一月 (10) ►  2020 (21) ►  十二月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (2) ►  七月 (1) ►  六月 (6) ►  五月 (2) ►  三月 (2) ►  二月 (3) ►  一月 (3) ►  2019 (47) ►  十月 (2) ►  九月 (1) ►  八月 (7) ►  六月 (2) ►  四月 (5) ►  三月 (10) ►  二月 (11) ►  一月 (9) ►  2018 (97) ►  十二月 (1) ►  十一月 (2) ►  十月 (11) ►  五月 (4) ►  四月 (3) ►  三月 (65) ►  二月 (9) ►  一月 (2) ►  2017 (14) ►  九月 (1) ►  八月 (2) ►  七月 (9) ►  六月 (1) ►  四月 (1) ►  2016 (16) ►  十一月 (6) ►  十月 (7) ►  九月 (2) ►  八月 (1) ►  2015 (51) ►  十月 (1) ►  九月 (1) ►  七月 (2) ►  六月 (2) ►  三月 (1) ►  二月 (2) ►  一月 (42) ►  2014 (18) ►  十二月 (18) ►  2013 (1) ►  十二月 (1) 標籤 高中數學 SergeLangGeometry 國中數學 線性代數 大學數學 三角形角度 三角形面積 103學年(上)新竹市立光華國中九年級數學期末考 排列組合 三角函數 103國中教育會考 103學年(上)國立清華大學數學系線性代數一期末考詳解 平行線性質 微積分 垂直 數學甲 矩陣 面積關係 三角形外心 三角形重心 二項式定理 平面向量 平面幾何 機率 算幾不等式 內錯角 因式分解 複數 AMemoirontheTheoryofMatrices ArthurCayley 三角形全等 不等式 印度理工學院 向量內積 和達三樹 商高定理 數學史 數學歸納法 極限 理論物理基礎系列教程 矩陣理論紀要 翻譯 行列式 ApostolLinearAlgebra 三角形內心 三角形邊長關係 代數 同位角 排列 物理用數學 直角三角形 遞迴關係 邊長比面積比 106數學甲 三角不等式 不定方程式 參數式 四邊形角度 多項式 導數 平行四邊形 有理數 比例 直線方程式 相似三角形 矩形面積 矩陣的逆 絕對值 集合 n次方根 三角形內切圓半徑 偏導數 分類討論 北韓 反證法 向量加法 四邊形 四邊形切割 對數 排容原理 數論 法向量 無理數 矩陣轉置 線性方程組 近似值 重複組合 鏈鎖律 Cauchy不等式 Cramer法則 Fibonacci數列 field 三元三次輪換式 三角函數疊合 三角形 中垂線 乘法原理 分配律 加法原理 可導 向量 向量長度 四則運算 因數與倍數 圓切線性質 圓方程式 域 對稱 平方恆等式 平方根的運算 平面方程式 弦 斜率 旋轉 梯度向量 梯形面積 橢圓 正三角形 正方形 正方形面積 特殊三角形邊長比 積分 立體幾何 統計 線性映射矩陣表示 角平分線定理 角度 質因數分解 配方法 非負整數解 餘弦定理 體 100學測 102學測 105數學甲 107學測 107數甲 110年學測試辦 2階矩陣 Hermite矩陣 JEEMain deMoivre定理 epsilon-delta論證法 n次方函數 一次函數 中線 中點 事件 二倍角公式 二元一次不等式 二元一次方程式 二次函數 二階偏導數 二階行列式 互補 估計 倒數函數 充分條件 共軛複數 共高三角形 分點公式 切線 割圓恆等式 加法反元素 同側內角 同餘 向量夾角 向量生成集 和的立方公式 和角公式 單位圓 單墫 因數倍數 圓周角 圓盤 外接圓半徑 外積 子空間維度 完全相異組合 寒假作業 實數 對稱矩陣 常數函數 平均數 平方根 平方根函數 平方根的定義 幾何意義 座標平面 座標法 座標變換 弦心距 微分 微分方程 微積分基本定理 必要條件 指數 指考 教學 整數四則運算 整除關係 數值估計 數列 數列的極限 數學傳播 數學女孩 旋轉矩陣 最大值 最小值 松山高中 條件機率 梯形 極值 樣本空間 正整數 正整數解 求導 流程圖 熱力學 物理 特徵值 特徵空間 環 直徑 矩形 矩陣乘法 矩陣對角化 空間幾何 立方和公式 立方根 等比數列 等腰三角形 組合數 結合律 維度定理 線性組合 自然對數函數 自然數 華羅庚 角平分線 解集合 設未知數與列式 許志農講義 論文 變數變換 負負得正 距離 速度 連續 連續自然數立方和求和公式 邏輯 量子力學 長除法 階乘 雙曲線 餘式定理 高職數學 101(上)士林高商高二第一次期中考 103(上)北一女高二第一次期中考 103學測 103學測模擬考 104國中教育會考 104學測 106學測 107國中教育會考 108學測 108數乙 108數甲 15度 1990中國高考數學全國卷 75度 95基測(I) 96基測(II) 99台北區公立高中數學甲模擬考第一次 99建中數資班入學考 AA相似 AI科技實做營 ASA全等 AnIntroductiontotheTheoryofNumbers DeMorgan定理 Dickson方程式論 E.M.Wright Fermat定理 Fermat小定理 Feynman G.H.Hardy Gauss記號 Gibbs自由能 H.B.Fine Helmholtz自由能 HigherAlgebrafortheUndergraduate I.Niven IIT JMO JeeAdvanced KennethBinmore Lagrange乘子法 Lagrange恆等式 Laplace算子 Laplacian Maxwell熱力學關係式 Newton-Leibniz公式 Newton商 Pascal三角形 Pauli矩陣 Perron Perron悖論 SSA問題 Shankar Taylor展開式 cos108度 cos18度 cos36度 cos42度 cos72度 disc norm normedvectorspace sin108度 sin18度 sin36度 sin42度 sin72度 sin75度 tan值 一元二次方程式 丁石孫 三倍角公式 三採陰 三次函數 三角函數的圖形 三角形中線 三角形內角和 三角形法則 三角方程式 不定積分 不連號 世界第一簡單實驗設計 世界第一簡單統計學 世茂出版社 中位數 中國1991年全國統一高考數學試卷（文科） 中垂線判別法 中垂線性質 乘冪 乘法 乘法公式 二位數 二元二次方程式 二次曲線 二項分佈 二項式係數 互不相關 互斥 互質 交換律 人民大學習堂 人民郵電出版社 人蔘 代數基本定理 代數數論 代數重數與幾何重數 休假 伸縮 位移 倍式 假分式 偏微分方程 偶函數 偽陰 偽陽 傅瑞琪 傳染病 入境 內能 全等三角形 共產黨 共線 共邊定理 典型伴隨矩陣 凱旋門 凸性 函數方程 函數極限 函數關係 分式 切線方程式 初始條件 力學 加法 勘誤 包含 北京大學 區域 十進展開 印地安那瓊斯 反三角函數 反函數 反函數微商 可微 同界角 向量分析 向量分解 向量平行 單位根 單維彰 單變數函數 四採陽 四邊形面積 四面體 國三模考 圓 圓心角 圓錐曲線 圖形交點個數 圖書館 圖靈出版 土地 垂線公設PERP1 基底 基本矩陣 基礎物理 堆疊 塗色問題 外角 多變數函數 多邊形內切圓 多邊形外心 大島學習塾 大栗博司 大聖牌 大邊對大角 夾擠定理 奇偶性 女神降臨 子集合 學測 學習 完全平方數 定位板 實數完備性。

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