高中物理(二上): Chap 4-5-1 等速率圓周運動及應用 - 科學園

(3) 以加速度坐標系的觀點解題時，需考慮假想力的作用，牛頓定律才能成立。

三、錐動擺. 1. 錐動擺(conical pendulum)： (1) 擺錘在水平面 ... 高中物理(二上) 登入 科學園->高中物理(二上)->Chap4-5-1等速率圓周運動及應用   Chap4-5-1等速率圓周運動及應用 一、等速率圓周運動的基本性質 1.運動形式：(1)等速率→切線速率為一定→切線加速度為零：$a_t\,=\,0$(2)等速率時，軌跡為圓→法線加速度(向心加速度)為定值：$a_n\,=\,a_c\,=$定值。

(3)等速率圓周運動應為等速率、變速度、變加速度運動。

(4)自轉動的觀點：角速度為一定：$\omega\,=$定值，應為等角速度轉動。

2.運動公式：(1)角速度：$\omega\,=\,\frac{\theta}{t}\,=\,\frac{2\pi}{T}\,=\,2\pif$(2)角位移：$\theta\,=\,\omegat\,=\,\frac{2\pit}{T}\,=\,2\pif\,t$(3)路徑長：$s\,=\,R\theta$(4)切線速率：$v\,=\,R\omega\,=\,\frac{2\piR}{T}\,=\,2\pif\,R$(5)瞬時速度一定在路徑的切線上，故沒有法線速度。

(6)向心加速度：$a_c\,=\,\frac{v\,^2}{R}\,=\,R\omega^2\,=\,\frac{4\pi^2R}{T\;^2}\,=\,4\pi^2f\;^2\,R$　　　　　　　　　　　  $=\,v\omega\,=\,\frac{2\piv}{T}\,=\,2\pif\,v$(7)向心力：$F_c\,=\,ma_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,mR\omega^2\,=\,\frac{4\pi^2mR}{T\,^2}\,=\,4\pi^2f\;^2\,mR$　　　　　　　　　　　  　　$=\,mv\omega\,=\,\frac{2\pimv}{T}\,=\,2\pif\,mv$(8)切線加速度：$a_t\,=\,0$(9)切線力：$F_t\,=\,ma_t\,=\,0$(10)週　期：$T\,=\,\frac{2\pi}{\omega}\,=\,\frac{2\pit}{\theta}\,=\,\frac{2\piR}{v}\,=\,\frac{2\piv}{a_c}\,=\,2\pi\,\sqrt{\frac{R}{a_c}}\,=\,2\pi\,\sqrt{\frac{mR}{F_c}}$(11)頻　率：與週期互為倒數。

$f\,=\,\frac{1}{T}$ 3.公式的推導及詳細重點（參看Chap2-6等速率圓周運動） 二、連結體系統的等速率圓周運動 （圖） 1.隔離解法：(1)選取適當的隔離系統：　a.各物體運動方式相同時，可選取單獨某一物體的小系統，或若干物體的大系統。

　b.若各物體運動方式不同時，則僅能選取單獨各個物體的小系統。

(2)畫自由體（freebody）的力圖，找出所有的外力即自由體的加速度。

(3)列運動方程式，聯立解之。

（圖）    2.注意事項：(1)計算合力時，只需考慮外力（因內力恆成對出現，在計算淨力時將會相互抵消）。

(2)以靜止坐標系的觀點解題時，只需考慮實際力。

(3)以加速度坐標系的觀點解題時，需考慮假想力的作用，牛頓定律才能成立。

三、錐動擺 1.錐動擺(conicalpendulum)：(1)擺錘在水平面作等速率圓周運動。

(2)擺　長：$\ell$=懸線長+擺錘半徑　a.軌道半徑：$R\,=\,\ell\,\sin\theta$　b.錐　高：$h\,=\,\ell\,\cos\theta$(3)向心力：　a.向心力即擺錘所受淨力，由物體所受重力與繩上張力的合力提供。

　　$\vec{F}_c\,=\,\Sigma\vec{F}\,=\,m\vec{g}\,+\,\vec{T}$　b.向心力可由重力、或張力推得。

　　$F_c\,=\,mg\,\tan\theta$　　$F_c\,=\,T\,\sin\theta$(4)繩上張力：$T\,=\,mg\,\sec\theta\,=\,\frac{mg}{\cos\theta}$ （圖） 2.運動條件：(1)運動條件：$F_c\,=\,mg\,\tan\theta$(2)向心加速度：$F_c\,=\,ma_c\,=\,mg\,\tan\theta\quad\Rightarrow\quada_c\,=\,g\,\tan\theta$(3)軌道速度，或切線速率：　　　　　$F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,mg\,\tan\theta\quad\Rightarrow\quadv\,=\,\sqrt{gR\,\tan\theta}\,=\,\sqrt{g\ell\,\sin\theta\,\tan\theta}\,=\,\sqrt{\frac{g\ell\,\sin^2\theta}{\cos\theta}}$(4)擺　角：$F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,mg\,\tan\theta\quad\Rightarrow\quad\theta\,=\,\tan^{-\,1}\,\frac{v\,^2}{gR}\,=\,\cos^{-\,1}\,\frac{gT\;^2}{4\pi^2\,\ell}$(5)週　期：$F_c\,=\,\frac{4\pi^2mR}{T\;^2}\,=\,mg\,\tan\theta\quad\Rightarrow\quadT\,=\,2\pi\sqrt{\frac{R}{g\,\tan\theta}}\,=\,2\pi\sqrt{\frac{\ell\,\cos\theta}{g}}\,=\,2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$ 四、水平路面的安全轉彎 1.向心力：由靜摩擦力提供。

　$F_c\,=\,f_s\,\leq\,f_{s\;max}\,=\,\mu\,mg$ 【注意】不一定是最大靜摩擦力 2.路面對車的正向力：$N\,=\,mg$ 3.最大車行安全速度：(1)車行安全速度：　 $F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,\leq\,f_{s\;max}\,=\,\mu\,mg\quad\Rightarrow\quadv\,\leq\,\sqrt{\mu\,gR}$(2)最大車行安全速度：　 $F_{c\;max}\,=\,\frac{mv_{max}\,^2}{R}\,=\,f_{s\;max}\,=\,\mu\,mg\quad\Rightarrow\quadv_{max}\,=\,\sqrt{\mu\,gR}$(3)為什麼在下列情況時，要減速慢行？　答：雨天時路面積水濕滑，或路面上有油漬時，輪胎與路面間的摩擦係數減小；路面有細砂或小石子時，輪胎對路面由滑動摩擦變成滾動摩擦，摩擦力將會減小，故以上情況都會使得車行安全速度減小。

（圖） 五、光滑傾斜路面的安全轉彎 1.向心力：(1)由車輛所受重力及路面對車正向力的合力提供。

　 $\vec{F}_c\,=\,\Sigma\vec{F}\,=\,m\vec{g}\,+\,\vec{N}$(2)向心力可由重力、或正向力推得。

　 $F_c\,=\,mg\,\tan\theta$　 $F_c\,=\,N\,\sin\theta$2.路面對車的正向力：$N\,=\,mg\,\sec\theta\,=\,\frac{mg}{\cos\theta}$ 【注意】並非物體在斜面上靜止時，或上下滑行時的正向力：$N\,=\,mg\,\cos\theta$ 3.路面的安全傾斜角：(1)轉彎處車速為v時，路面的安全傾斜角：　$F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,mg\,\tan\theta\quad\Rightarrow\quadtheta\,=\,\tan^{-\,1}\frac{v\,^2}{gR}$(2)可實地觀察高速公路及鐵路的轉彎處，路面外側都比內側要高。

　$h\,=\,d\,\sin\theta\,=\,\frac{v\,^2}{\sqrt{v\,^2\,+\,g^2R^2}}$ 4.作半徑為R轉彎時的車行安全速度：　$F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,mg\,\tan\theta\quad\Rightarrow\quadv\,=\,\sqrt{gR\,\tan\theta}$ （圖）    【注意】實際的路面還有摩擦力的因素需要考慮，故車行安全速度應在某一範圍之內。

　　$\sqrt{\frac{gR(\sin\theta\,-\,\mu\,\cos\theta)}{\cos\theta\,+\,\mu\,\sin\theta}}\,\leq\,v\,\leq\,\sqrt{\frac{gR(\sin\theta\,+\,\mu\,\cos\theta)}{\cos\theta\,-\,\mu\,\sin\theta}}$ 【詳解】六、衛星的圓軌道運動：（進階的討論參看Chap5-3衛星的圓軌道運動） 1.圓軌道運動：(1)衛星常以橢圓形軌道繞行，但為簡化問題，視為等速率圓周運動。

【備註】橢圓軌道運動的討論參見Chap5-1克卜勒行星定律） (2)軌道半徑(由地心量至軌道)：$R\,=\,R_e\,+\,H$(3)軌道高度(由地面量至軌道)：$H\,=\,R\,-\,R_e$ （圖） 2.向心力：由衛星在軌道處所受重力，即地球對衛星的萬有引力所提供。

(1)$F_c\,=\,F_g\,=\,\frac{GMm}{R^2}$(2)$F_c\,=\,W\,=\,mg$，此處的$g$為軌道處的重力加速度。

3.運動性質之一：(1)向心加速度：$F_c\,=\,ma_c\,=\,\frac{GMm}{R^2}\quad\Rightarrow\quada_c\,=\,\frac{GM}{R^2}\,\propto\,\frac{1}{R^2}$(2)軌道速度：$F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,\frac{GMm}{R^2}\quad\Rightarrow\quadv\,=\,\sqrt{\frac{GM}{R}}\,\propto\,\frac{1}{\sqrt{R}}$(3)軌道週期：$F_c\,=\,\frac{4\pi^2mR}{T\,^2}\,=\,\frac{GMm}{R^2}\quad\Rightarrow\quadT\,=\,2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}\,\propto\,\sqrt{R^3}$ 【注意】上式即$T\;^2\,\propto\,R^3$，正是克卜勒第三定律，參看Chap5-1克卜勒行星定律。

(4)二衛星繞同一行星運行時，其軌道速度、軌道週期及向心加速度，僅與軌道半徑有關，而與衛星的質量無關，其間的關係如下：　a.$v\,\propto\,\frac{1}{\sqrt{R}}\;\;;\;\;T\,\propto\,\sqrt{R^3}\;\;;\;\;a_c\,\propto\,\frac{1}{R^2}$　　$\Rightarrow\quadv\,\propto\,\frac{1}{\sqrt{R}}\,\propto\,\frac{1}{\sqrt[3]{T}}\,\propto\,\sqrt[4]{a_c}$　b.$\frac{v_1}{v_2}\,=\,\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}\,=\,\sqrt[3]{\frac{T_2}{T_1}}\,=\,\sqrt[4]{\frac{a_1}{a_2}}$ (5)在同一軌道上的各衛星，應有相同的向心加速度、軌道速度、軌道週期，故不致發生追撞現象。

4.運動性質之二：(1)向心加速度：$F_c\,=\,ma_c\,=\,mg\quad\Rightarrow\quada_c\,=\,g$ 【注意】　1.g為軌道處的重力加速度，並非地球表面的重力加速度，故其值並非9.8m/s2，推算方法參看Chap5-2萬有引力定律。

　2.ac=g表示衛星的向心加速度等於軌道處的重力加速度，則在衛星內物體的視重應為0，通常稱物體處於失重狀態。

(2)軌道速度：$F_c\,=\,\frac{mv\,^2}{R}\,=\,mg\quad\Rightarrow\quadv\,=\,\sqrt{gR}$　因為$g$不是定值，故推導$v\,\propto\,\sqrt{R}$是不正確的。

(3)軌道週期：$F_c\,=\,\frac{4\pi^2mR}{T\,^2}\,=\,mg\quad\Rightarrow\quadT\,=\,2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$　因為$g$不是定值，故推導$T\,\propto\,\sqrt{R}$是不正確的。

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