駐點- 維基百科，自由的百科全書

駐點（英語：Stationary Point）或穩定點在數學，特別在微積分中是指函數在一點處的一階導數為零，該點即函數的駐點。

y = x + sin(2x) 的圖像駐點（紅色）與反曲點（ ... 駐點 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   此條目介紹的是駐點或者一個真實變量的實值函數的臨界點。

關於一般概念，請見「臨界點(數學)」。

關於物理學上流體中速度為零的點，請見「滯點」。

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y=x+sin(2x)的圖像駐點（紅色）與反曲點（藍色），這圖像的駐點都是局部極大值或局部極小值。

y=x3的圖像原點(0,0)是駐點，但不是局部極值。

也就是說若 p {\displaystylep} 為駐點則 d y d x | p = 0 {\displaystyle\left.{\frac{dy}{dx}}\right|_{p}=0\,} 在這一點，函數的輸出值停止增加或減少。

對於一維函數的圖像，駐點的切線平行於x軸即水平切線。

對於二維函數的圖像，駐點的切平面平行於xy平面。

值得注意的是，一個函數的駐點不一定是這個函數的極值點[註1]；反過來，在某設定區域內，一個函數的極值點也不一定是這個函數的駐點[註2]，例如函數 f ( x ) = x 3 {\displaystylef(x)=x^{3}} 。

對於可微函數，極值點一定是駐點。

目次 1靜態平衡系統 2歐拉-拉格朗日方程式 3注釋 4參見 靜態平衡系統[編輯] 在分析力學裏，虛功原理闡明，對於一個靜態平衡系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總合等於零，以方程式式表達， δ W = ∑ i F i ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle\deltaW=\sum_{i}\mathbf{F}_{i}\cdot\delta\mathbf{r}_{i}=0\,} ； 其中， δ W {\displaystyle\deltaW\,} 是虛功， F i {\displaystyle\mathbf{F}_{i}\,} 是第 i {\displaystylei\,} 個外力， r i {\displaystyle\mathbf{r}_{i}\,} 是對應於 F i {\displaystyle\mathbf{F}_{i}\,} 的虛位移。

轉換為以廣義力 F i {\displaystyleF_{i}\,} 和廣義坐標 q i {\displaystyleq_{i}\,} 表達， δ W = ∑ i F i δ q i = 0 {\displaystyle\deltaW=\sum_{i}F_{i}\deltaq_{i}=0\,} ； 假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是一個純量的廣義位勢函數 V ( q 1 , q 2 , … , q n ) {\displaystyleV(q_{1},q_{2},\dots,q_{n})\,} 的對於其對應的廣義坐標的導數： F i = − ∂ V ∂ q i {\displaystyleF_{i}=-{\frac{\partialV}{\partialq_{i}}}\,} 。

虛功與廣義位勢的關係為 δ W = ∑ i − ∂ V ∂ q i δ q i = − δ V = 0 {\displaystyle\deltaW=\sum_{i}-{\frac{\partialV}{\partialq_{i}}}\deltaq_{i}=-\deltaV=0\,} 。

所以，一個靜態平衡系統的位勢 V {\displaystyleV\,} 乃是個局域平穩值。

注意到這系統只處於平穩狀態。

假設，要求這這系統處於穩定狀態，則位勢 V {\displaystyleV\,} 必須是個局域極小值。

歐拉-拉格朗日方程式式[編輯] 主條目：歐拉-拉格朗日方程式式 在變分法裏，歐拉-拉格朗日方程式式是從其對應的泛函的平穩點推導出的一種微分方程式式。

設定 y ( x ) = ( y 1 ( x ) ,   y 2 ( x ) ,   … , y N ( x ) ) {\displaystyle\mathbf{y}(x)=(y_{1}(x),\y_{2}(x),\\ldots,y_{N}(x))\,\!} ， y ˙ ( x ) = ( y ˙ 1 ( x ) ,   y ˙ 2 ( x ) ,   … ,   y ˙ N ( x ) ) {\displaystyle{\dot{\mathbf{y}}}(x)=({\dot{y}}_{1}(x),\{\dot{y}}_{2}(x),\\ldots,\{\dot{y}}_{N}(x))\,\!} ， f ( y ,   y ˙ ,   x ) = f ( y 1 ( x ) ,   y 2 ( x ) ,   … ,   y N ( x ) ,   y ˙ 1 ( x ) ,   y ˙ 2 ( x ) ,   … ,   y ˙ N ( x ) ,   x ) {\displaystylef(\mathbf{y},\{\dot{\mathbf{y}}},\x)=f(y_{1}(x),\y_{2}(x),\\ldots,\y_{N}(x),\{\dot{y}}_{1}(x),\{\dot{y}}_{2}(x),\\ldots,\{\dot{y}}_{N}(x),\x)\,\!} 。

若 y ( x ) ∈ ( C 1 [ a ,   b ] ) N {\displaystyle\mathbf{y}(x)\in(C^{1}[a,\b])^{N}\,\!} 使泛函 J ( y ) = ∫ a b f ( y ,   y ˙ ,   x ) d x {\displaystyleJ(\mathbf{y})=\int_{a}^{b}f(\mathbf{y},\{\dot{\mathbf{y}}},\x)dx\,\!} 取得局部平穩值，則在區間 ( a ,   b ) {\displaystyle(a,\b)\,\!} 內對於所有的 i = 1 ,   2 ,   … ,   N {\displaystylei=1,\2,\\ldots,\N\,\!} ，歐拉-拉格朗日方程式式成立： d d x ∂ ∂ y ˙ i f ( y ,   y ˙ ,   x ) − ∂ ∂ y i f ( y ,   y ˙ ,   x ) = 0 {\displaystyle{\frac{d}{dx}}{\frac{\partial}{\partial{\dot{y}}_{i}}}f(\mathbf{y},\{\dot{\mathbf{y}}},\x)-{\frac{\partial}{\partialy_{i}}}f(\mathbf{y},\{\dot{\mathbf{y}}},\x)=0\,\!} 。

注釋[編輯] ^考慮到這一點左右一階導數符號不改變的情況 ^考慮到邊界條件 參見[編輯] 最佳化 費馬引理 鞍點 不動點 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=驻点&oldid=71769614」 分類：​微分學數學概念隱藏分類：​含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةČeštinaDeutschEnglishEsperantoEspañolفارسیFrançaisBahasaIndonesiaNederlandsPolskiRomânăSlovenščinaதமிழ்TürkçeУкраїнськаاردو 編輯連結