三元算幾不等式的代數證明 - 宇宙數學教室

三元算幾不等式的代數證明. 定理：若x,y,z皆為非負實數，則恆有 x+y+z3≥3√xyz. [證]：令3√x=a,3√y=b,3√z=c，則x=a3,y=b3,z=c3。

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考慮$\frac{x+y+z}{3}-\sqrt[3]{xyz}$，利用「三元三次輪換式」，則 \begin{eqnarray*} \frac{x+y+z}{3}-\sqrt[3]{xyz} &=&\frac{1}{3}\left(x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}\right)\\ &=&\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{x}^3+ \sqrt[3]{y}^3+ \sqrt[3]{z}^3-3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}\sqrt[3]{z}\right)\\ &=&\frac{1}{3}\left(a^3+b^3 +c^3-3abc \right)\\ &=&\frac{1}{3}(a+b+c)\left(a^2+b^2 +c^2-ab-bc-ca \right)\\ &=&\frac{1}{3}(a+b+c)\frac{1}{2}\left(2a^2 +2b^2 +2c^2-2ab-2bc-2ca \right)\\ &=&\frac{1}{6}(a+b+c)\left[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2) +(c^2-2ca+a^2) \right]\\ &=&\frac{1}{6}(a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2 +(c-a)^2 \right]\\ &\geq&0 \end{eqnarray*} 得$\frac{x+y+z}{3}-\sqrt[3]{xyz}\geq 0$，即$\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt[3]{xyz}$。

(證明結束) 張貼者： 奔騰進化evolution 於 晚上9:01 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 三元三次輪換式, 立方根, 配方法, 高中數學, 算幾不等式 1則留言: Unknown2019年9月7日下午6:50謝謝!!這樣清楚多了回覆刪除回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 搜尋此網誌 網誌存檔 ►  2022 (7) ►  四月 (4) ►  三月 (1) ►  一月 (2) ►  2021 (25) ►  十一月 (2) ►  十月 (2) ►  九月 (2) ►  八月 (2) ►  七月 (1) ►  五月 (3) ►  四月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (10) ►  2020 (21) ►  十二月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (2) ►  七月 (1) ►  六月 (6) ►  五月 (2) ►  三月 (2) ►  二月 (3) ►  一月 (3) ►  2019 (47) ►  十月 (2) ►  九月 (1) ►  八月 (7) ►  六月 (2) ►  四月 (5) ►  三月 (10) ►  二月 (11) ►  一月 (9) ►  2018 (97) ►  十二月 (1) ►  十一月 (2) ►  十月 (11) ►  五月 (4) ►  四月 (3) ►  三月 (65) ►  二月 (9) ►  一月 (2) ▼  2017 (14) ►  九月 (1) ►  八月 (2) ▼  七月 (9) 無理數的無理數次方仍是無理數嗎？ $\log_{10}2$不是有理數 有理數與無理數加減乘除後得到有理數還是無理數？ 無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎？ 有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field)) 三元算幾不等式的代數證明 和的立方公式(二項式定理n=3的情況)、差的立方公式 三元三次輪換式 二元算幾不等式的代數證明 ►  六月 (1) ►  四月 (1) ►  2016 (16) ►  十一月 (6) ►  十月 (7) ►  九月 (2) ►  八月 (1) ►  2015 (51) ►  十月 (1) ►  九月 (1) ►  七月 (2) ►  六月 (2) ►  三月 (1) ►  二月 (2) ►  一月 (42) ►  2014 (18) ►  十二月 (18) ►  2013 (1) ►  十二月 (1) 標籤 SergeLangGeometry 高中數學 國中數學 線性代數 大學數學 三角形角度 三角形面積 103學年(上)新竹市立光華國中九年級數學期末考 排列組合 103國中教育會考 103學年(上)國立清華大學數學系線性代數一期末考詳解 平行線性質 微積分 三角函數 數學甲 矩陣 面積關係 三角形外心 三角形重心 垂直 平面向量 平面幾何 機率 算幾不等式 內錯角 因式分解 AMemoirontheTheoryofMatrices ArthurCayley 三角形全等 二項式定理 和達三樹 數學史 數學歸納法 極限 理論物理基礎系列教程 矩陣理論紀要 翻譯 行列式 複數 ApostolLinearAlgebra 三角形內心 不等式 印度理工學院 同位角 向量內積 商高定理 物理用數學 直角三角形 邊長比面積比 106數學甲 三角不等式 不定方程式 四邊形角度 導數 平行四邊形 排列 有理數 直線方程式 相似三角形 矩形面積 遞迴關係 n次方根 三角形內切圓半徑 偏導數 北韓 參數式 反證法 向量加法 四邊形 四邊形切割 對數 排容原理 數論 比例 無理數 矩陣的逆 近似值 重複組合 鏈鎖律 Cramer法則 field 三元三次輪換式 三角函數疊合 三角形邊長關係 中垂線 乘法原理 代數 分類討論 加法原理 可導 向量 向量長度 四則運算 因數與倍數 圓切線性質 圓方程式 域 多項式 對稱 平方恆等式 平方根的運算 平面方程式 弦 梯度向量 梯形面積 正三角形 正方形 正方形面積 法向量 矩陣轉置 積分 立體幾何 絕對值 統計 線性映射矩陣表示 角平分線定理 角度 質因數分解 配方法 集合 非負整數解 體 100學測 102學測 105數學甲 107學測 110年學測試辦 Cauchy不等式 Fibonacci數列 Hermite矩陣 JEEMain deMoivre定理 epsilon-delta論證法 n次方函數 一次函數 三角形 中線 中點 事件 二倍角公式 二元一次不等式 二元一次方程式 二次函數 二階偏導數 二階行列式 互補 估計 倒數函數 充分條件 共軛複數 共高三角形 分點公式 切線 割圓恆等式 同側內角 同餘 向量夾角 向量生成集 和的立方公式 單位圓 單墫 因數倍數 圓周角 圓盤 外接圓半徑 外積 子空間維度 完全相異組合 寒假作業 實數 對稱矩陣 常數函數 平均數 平方根 平方根函數 平方根的定義 幾何意義 座標平面 座標法 座標變換 弦心距 微分 微分方程 微積分基本定理 必要條件 指數 教學 整數四則運算 整除關係 數值估計 數列 數列的極限 數學傳播 數學女孩 斜率 最大值 松山高中 條件機率 梯形 極值 樣本空間 橢圓 正整數 正整數解 求導 流程圖 熱力學 物理 特徵值 特徵空間 特殊三角形邊長比 直徑 矩形 矩陣對角化 立方根 等比數列 等腰三角形 結合律 維度定理 線性方程組 線性組合 自然對數函數 自然數 華羅庚 角平分線 解集合 設未知數與列式 許志農講義 論文 速度 連續 連續自然數立方和求和公式 邏輯 量子力學 階乘 雙曲線 餘弦定理 高職數學 101(上)士林高商高二第一次期中考 103(上)北一女高二第一次期中考 103學測 103學測模擬考 104國中教育會考 104學測 106學測 107國中教育會考 107數甲 108學測 108數乙 108數甲 15度 1990中國高考數學全國卷 2階矩陣 75度 95基測(I) 96基測(II) 99台北區公立高中數學甲模擬考第一次 99建中數資班入學考 AA相似 ASA全等 AnIntroductiontotheTheoryofNumbers DeMorgan定理 Dickson方程式論 E.M.Wright Fermat定理 Fermat小定理 Feynman G.H.Hardy Gauss記號 Gibbs自由能 H.B.Fine Helmholtz自由能 HigherAlgebrafortheUndergraduate I.Niven IIT JMO JeeAdvanced KennethBinmore Lagrange乘子法 Lagrange恆等式 Laplace算子 Laplacian Maxwell熱力學關係式 Newton-Leibniz公式 Newton商 Pascal三角形 Pauli矩陣 Perron Perron悖論 SSA問題 Shankar Taylor展開式 cos108度 cos18度 cos36度 cos42度 cos72度 disc norm normedvectorspace sin108度 sin18度 sin36度 sin42度 sin72度 sin75度 tan值 一元二次方程式 丁石孫 三倍角公式 三採陰 三次函數 三角函數的圖形 三角形中線 三角形內角和 三角形法則 三角方程式 不定積分 不連號 世界第一簡單實驗設計 世界第一簡單統計學 世茂出版社 中位數 中國1991年全國統一高考數學試卷（文科） 中垂線判別法 中垂線性質 乘冪 乘法 乘法公式 二位數 二元二次方程式 二次曲線 二項分佈 二項式係數 互不相關 互斥 互質 交換律 人民大學習堂 人民郵電出版社 人蔘 代數基本定理 代數數論 代數重數與幾何重數 休假 伸縮 位移 偏微分方程 偶函數 偽陰 偽陽 傅瑞琪 傳染病 入境 內能 全等三角形 共產黨 共邊定理 典型伴隨矩陣 凱旋門 凸性 函數方程 函數極限 函數關係 分配律 切線方程式 初始條件 力學 加法 勘誤 包含 北京大學 區域 十進展開 印地安那瓊斯 反三角函數 反函數 反函數微商 可微 同界角 向量分析 向量分解 和角公式 單位根 單維彰 單變數函數 四採陽 四邊形面積 國三模考 圓 圓心角 圓錐曲線 圖形交點個數 圖書館 圖靈出版 土地 垂線公設PERP1 基底 基本矩陣 基礎物理 塗色問題 外角 多變數函數 多邊形內切圓 多邊形外心 大栗博司 大聖牌 大邊對大角 夾擠定理 奇偶性 女神降臨 學測 學習 完全平方數 定位板 實數完備性。

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