複數| 科學Online - 國立臺灣大學

從複數到三角函數公式(II) (From complex number to trigonometric ... 的相關公式，由於複數具有極坐標形式，可以將角度做旋轉、長度做伸縮變換，這 ... Thursday1stSeptember2022 1-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 從複數到三角函數公式(II)(Fromcomplexnumbertotrigonometricfunctionformulas) 國立蘭陽女中陳敏晧教師 連結：從複數到三角函數公式(I)  證明： (1)\(\displaystyle\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sinn\theta=\frac{{\sin\frac{{(n+1)\theta}}{2}\cdot\sin\frac{{n\theta}}{2}}}{{\sin\frac{\theta}{2}}}\) (2)\(\displaystyle\cos\theta+\cos2\theta+\cdots+\cosn\theta=\frac{{\sin\frac{{n\theta}}{2}\cos\frac{{(n+1)\theta}}{2}}}{{\sin\frac{\theta}{2}}}\) 第二種證明方法：利用複數的概念。

我們可以使用歐拉公式 \({e^{i\theta}}=\cos\theta+i\sin\theta\)， 若將\(\theta\) 以\(-\theta\) 代入可得\({e^{–i\theta}}=\cos\theta-i\sin\theta\)， 可得 \(\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\cos\theta=\frac{{{e^{i\theta}}+{e^{–i\theta}}}}{2}\\\displaystyle\sin\theta=\frac{{{e^{i\theta}}-{e^{–i\theta}}}}{{2i}}\end{array}\right.\)，變換變數得 \(\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\cos\frac{\theta}{2}=\frac{{{e^{\frac{{i\theta}}{2}}}+{e^{\frac{{–i\theta}}{2}}}}}{2}\\\displaystyle\sin\frac{\theta}{2}=\frac{{{e^{\frac{{i\theta}}{2}}}–{e^{\frac{{–i\theta}}{2}}}}}{{2i}}\end{array}\right.\) 繼續閱讀→ 從複數到三角函數公式(I)(Fromcomplexnumbertotrigonometricfunctionformulas) 國立蘭陽女中陳敏晧教師 複數在數學各領域均有重大影響，本文章將討論如何以複數的形式來證明三角函數的相關公式，由於複數具有極坐標形式，可以將角度做旋轉、長度做伸縮變換，這是傳統幾何學在直角坐標平面難以突破的面向，因此，利用複數來證明三角函數公式往往會有意想不到的收穫，也常使學習者見識到數學之美！ 本文將使用到歷史法國數學家棣美弗(AbrahamdeMoivre,1667-1754)於1730年發表的棣莫弗公式，即若 \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，則\({z^n}={r^n}(\cosn\theta+i\sinn\theta),n\inZ\)。

及歐拉(LeonhardEuler,1707-1783)在1748年所發表的歐拉公式：\({e^{i\theta}}=\cos\theta+i\sin\theta\)。

繼續閱讀→ 空間向量發展史(The DerivationofSpaceVectors) 國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯 摘要：簡述從複數引起「空間數」的想像，漢彌爾頓之「四元數」最接近成功地實現了這個想像，但是它太複雜而被簡化成空間向量。

從複數平面我們看到複數具有平面向量的本質，而複數的極式則導出了平面向量的內積公式和二階行列式的意義。

複數使得平面上的點變得像實數，而實數對應數線上的點。

如果把實數想像為直線數，則複數就像平面數。

很自然地，數學家想要找到更高一個維度的數：「空間數」。

繼續閱讀→ 複數的極式（The PolarFormofComplexNumbers） 國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯 摘要：定義複數的極式及其相關名詞，導出複數相乘或相除的極式關係，並連結平面向量的內積與二階行列式。

就好像坐標平面上的點有直角坐標\(P(a,b)\) 和極坐標\(P[r,{\theta}]\) 兩種表達方式，複數也有標準式和極式兩種表達方式。

繼續閱讀→ 由「代數基本定理」與「因式定理」得知，複係數n次多項式方程式恰有n個複數根。

應用「棣美弗定理」便可解出這n個令人驚豔的複數根。

繼續閱讀→ 本文簡要說明虛數的定義與基本運算性質。

繼續閱讀→ 站方公告 讀者您好，如對文章有任何提問，敬請於文章下方留言，我們會聯繫作者或責任編輯回覆您！謝謝您的耐心。

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