黎曼猜想 - 中文百科知識

黎曼猜想是關於黎曼ζ函式ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家黎曼於1859年提出。

希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題， ... 黎曼猜想 黎曼猜想是關於黎曼ζ函式ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家黎曼於1859年提出。

希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的制高點，其中便包括黎曼假設。

現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼猜想。

與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。

黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題。

目前有訊息指奈及利亞教授奧派耶米伊諾克(OpeyemiEnoch)成功解決黎曼猜想，然而克雷數學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題。

在arxiv網站上有一篇文章指出，1932年德國數學家C.L.Siegel整理的黎曼遺稿中給出了黎曼猜想的證明。

文章的作者根據手稿中的一個結論性公式，直接推導出來ζ(s)函式在矩形區域的零點全部落在臨界線上。

基本信息中文名：黎曼猜想英文名：RiemannHypothesis別稱：黎曼假設定義：關於黎曼ζ函式ζ(s)的零點分布的猜想提出者：波恩哈德·黎曼1859年：1859年國家：德國分類：數學簡介黎曼猜想黎曼猜想，即素數的分布最終歸結為所謂的黎曼ζ函式的零點問題。

黎曼在1859年在論文《在給定大小之下的素數個數》中做出這樣的猜想：ζ（z）函式位於0≤ｘ≤1之間的全部零點都在ReZ＝1/2之上，即零點的實部都是1/2，這至今仍是未解決的問題。

學術論證素數在自然數中的分布問題在純粹數學和套用數學上都是很重要的問題。

素數在自然數域中分布並沒有一定規則。

黎曼發現素數出現的頻率與所謂黎曼ζ函式緊密相關。

黎曼ζ函式的非平凡零點都線上\operatornamez=\frac上。

格奧爾格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼1901年數學家Koch指出，黎曼猜想與敘述\pi\left(x\right)=\operatornamex+O\left({\sqrtx\lnx}\right)等價。

現在已經驗證了最初的1,500,000,000個解，猜想都是正確的。

但是否對所有解是正確的，卻沒有證明，隨著費馬最後定理的獲證，黎曼猜想作為最困難的數學問題的地位更加突出。

黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、波奇和斯溫納頓―戴爾猜想、納威厄―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P對NP問題被稱為21世紀七大數學難題。

2000年，美國克雷數學研究所將它們設為“千年大獎問題”，每個難題懸賞100萬美元徵求證明。

猜想來源黎曼猜想是黎曼1859年提出的，這位數學家於1826年出生在一座如今屬於德國，當時屬於漢諾瓦王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。

1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。

作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為“論小於給定數值的素數個數”的論文。

這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分布。

素數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。

這些數在數論研究中有著極大的重要性，因為所有大於1的正整數都可以表示成它們的乘積。

從某種意義上講，它們在數論中的地位類似於物理世界中用以構築萬物的原子。

素數的定義簡單得可以在中學甚至國小課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了素數分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函式之中，尤其是使那個函式取值為零的一系列特殊的點對素數分布的細緻規律有著決定性的影響。

那個函式如今被稱為黎曼ζ函式，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函式的非平凡零點。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。

而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻並非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。

但黎曼的論文在為數不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。

黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了一百五十多個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。

當然，如果僅從時間上比較的話，黎曼猜想的這個紀錄跟費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，還差得很遠。

但黎曼猜想在數學上的重要性卻要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。

有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。

如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是極為罕有的。

了解猜想猜想內容黎曼觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函式ζ()的性態。

黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。

這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。

黎曼ζ函式ζ(s)是級數表達式在複平面上的解析延拓。

之所以要對這一表達式進行解析延拓，是因為這一表達式只適用於複平面上s的實部Re(s)>1的區域（否則級數不收斂）。

黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒有使用“解析延拓”這樣的現代複變函數論術語）。

運用路徑積分，解析延拓後的黎曼ζ函式可以表示為：這裡我們採用的是歷史文獻中的記號，式中的積分實際是一個環繞正實軸進行的圍道積分（即從+∞出發，沿實軸上方積分至原點附近，環繞原點積分至實軸下方，再沿實軸下方積分至+∞，而且離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於0)，按照現代數學記號應記成：其中積分路徑C跟上面所述相同，環繞正實軸，可以形象地這樣表示：式中的Γ函式Γ(s)是階乘函式在複平面上的推廣，對於正整數s>1：Γ（s)=(s-1）！。

可以證明，這一積分表達式除了在s=1處有一個簡單極點外在整個複平面上解析。

這就是黎曼ζ函式的完整定義。

運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ函式滿足以下代數關係式：從這個關係式中不難發現，黎曼ζ函式在s=-2n(n為正整數）取值為零-因為sin(πs/2)為零。

複平面上的這種使黎曼ζ函式取值為零的點被稱為黎曼ζ函式的零點。

因此s=-2n（n為正整數）是黎曼ζ函式的零點。

這些零點分布有序、性質簡單，被稱為黎曼ζ函式的平凡零點(trivialzero)。

除了這些平凡零點外，黎曼ζ函式還有許多其它零點，它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜，被稱為非平凡零點(non-trivialzeros)。

黎曼猜想提出：黎曼ζ函式的所有非平凡零點都位於複平面上Re(s)=1/2的直線上。

也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中，數學家們把複平面上Re(s)=1/2的直線稱為criticalline（臨界線）。

運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函式的所有非平凡零點都位於criticalline上。

猜想驗證進展荷蘭三位數學家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函式的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結果，目前他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點。

1982年11月蘇聯數學家馬帝葉雪維奇在蘇聯雜誌《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關的數學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。

1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌症去世前證明了No（T）>0.3474N（T）。

1980年中國數學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了No（T）>0.35N（T）。

1932年C.L.Siegel發表的文章中，有下面這樣一個公式：文章的作者根據這個公式的幾何意義以及cos函式的零點性質，直接推導出來No（T）=N（T），即證明了區域內的零點全部落在臨界線上。

C.L.Siegel從黎曼的遺稿中共整理出來四個公式，其中有三個公式在文獻和教科書中經常出現，唯獨上面這個公式，80多年來很少有文獻提到它，就連C.L.Siegel本人對於這個公式的作用也大惑不解。

實際上，只要跳出解析數論來看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用複分析的幾何思想嚴格的證明了現代所說的“黎曼猜想”。

這也許是數學史上最大的冤案。

人物簡介黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866，德國數學家）是黎曼幾何的創始人。

他在讀博士學位期間，研究的是複變函數。

他把通常的函式概念推廣到多值函式，並引進了多葉黎曼曲面的直觀概念。

他的博士論文受到了高斯的讚揚，也是他此後十年工作的基礎，包括：複變函數在Abel積分和theta函式中的套用，函式的三角級數表示，微分幾何基礎等。

黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。

在證明素數定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函式的零點都在直線Res(s)=1/2上。

他在作了一番努力而未能證明後便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。

但這一問題至今仍然未能解決，甚至於比此假設簡單的猜想也未能獲證。

而函式論和解析數論中的很多問題都依賴於黎曼假設。

在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。

若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。

等價定理1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想與強條件的素數定理等價。

疑似解決11月17日，奈及利亞教授奧派耶米·伊諾克(OpeyemiEnoch)宣稱成功解決已存在156年的數學難題——黎曼猜想，然而克雷數學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題。

伊諾克博士在奈及利亞某大學任教。

他表示，自己在2010年取得關鍵性突破，這為後來能夠解決這一千年難題奠定了基礎。

他說，自己之所以決定解決這一著名的數學難題不是為了獎金，而是因為自己的學生。

正是因為學生們相信自己，他才開始嘗試解決這一數學難題。

如果派耶米·伊諾克的證明被驗證，他將獲得100萬美金，但克雷數學研究所官網目前並沒有做出回應，類似的宣稱證明黎曼猜想的事件歷史曾多次發生。

相關介紹格奧爾格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德國數學家，對數學分析和微分幾何做出了重要貢獻，其中一些為廣義相對論的發展鋪平了道路。

他的名字出現在黎曼ζ函式，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路迴環矩陣和黎曼曲面中。

黎曼出生於漢諾瓦王國（今德國下薩克森）的小鎮布列斯倫茨（Breselenz）。

他的父親弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是當地的路德會牧師。

他在六個孩子中排行第二。

世界級數學難題費爾馬大定理霍奇猜想納衛爾-斯托可方程幾何尺規作圖問題四色猜想龐加萊猜想BSD猜想三等分任意角問題哥德巴赫猜想黎曼假設最小曼哈頓網路問題化圓為方問題NP完全問題楊-米爾斯理論貝赫和斯維訥通·戴爾猜想2倍立方體問題相關詞條 廣義黎曼猜想 ζ(s)=0的根。

函式的零點。

函式的零點。

簡介   分析   黎曼ζ函式   黎曼猜想   證明成果 黎曼 黎曼(GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826～1866)19世紀富有創造性的德國數學家、數學物理學家。

他的名字出現在... 人物簡介   人物生平   人物評價   主要貢獻   黎曼猜想 黎曼猜想漫談 二十三、哈代定理123二十五、數學世界的獨行俠132三十五、未竟的探索191 基本信息   作者簡介   內容介紹   目錄   媒體評論 黎曼函式 黎曼函式（Riemannfunction）是一個特殊函式，由德國數學家黎曼發現提出，黎曼函式定義在[0,1]上，其基本定義是：R(x)=1/q，當x=... 定義   性質   圖像   變體   發現者 波恩哈德·黎曼 波恩哈德·黎曼(公元1826—1866年)，是德國著名的數學家，他在數學分析和微分幾何方面作出過重要貢獻，他開創了黎曼幾何，並且給後來愛因斯坦的廣義相對... 人物經歷   主要貢獻   著作   黎曼猜想   人物評價 冰雹猜想 冰雹猜想是指：一個自然數x，如果是奇數就乘以3再加1，如果是偶數就析出偶數因數2ⁿ，這樣經過若干個次數，最終回到1。

無論這個過程中的數值如何龐大，就... 冰雹猜想   一，3x+1猜想的公式   二，3x+3猜想   克拉茨問題 數學猜想 數學猜想即關於數學學術方面的猜想(或稱猜測、假設等)，這些猜想有的被驗證為正確的，並成為定理；有的被驗證為錯誤的；還有一些正在驗證過程中。

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