解析函數| 中文数学Wiki | Fandom

解析函数是复变函数主要研究的对象，它是一种条件更强的可微函数，解析函数具有 ... 它是判斷複變函數在某點（區域）解析的必要條件，即如果複變函數在某點（區域）內 ... 中文数学Wiki 導覽 首頁 討論 所有頁面 社區 互動式地圖 近期網誌 瀏覽內容 分類 數學 專案頁面 最常瀏覽 Riemann假說 复指数函数 平面直角坐标系 Poisson分布 积分平均值 复三角函数 复对数函数 最新變更 度量空間 三角恒等式 Chebyshev多项式 Riemann假說 Riemannζ函数 超几何方程 Kummer公式 社群 入口網站 論壇 主要使用者 Natsunohikari 列维劳德 管理員 FANDOM 遊戲 電影 電視 wiki 探索wiki 社群中心 建立wiki 尚未註冊？ 註冊 登入 Advertisement 分類: 函數論、​單複變函數論 臺灣正體 不转换 简体 繁體 大陆简体 香港繁體 澳門繁體 大马简体 新加坡简体 解析函數 檢視原始碼 歷史 討論(0) 解析函數是複變函數主要研究的對象，它是一種條件更強的可微函數，解析函數具有十分良好的性質，它比一元實函數的連續性以及可導性性質更好。

目次 1定義 2C.-R.方程 3性質 4解析的等價刻畫 5上下節 定義 設定義在區域上的複變函數在區域上可微，我們就說該函數是區域上的解析函數、全純函數或正則函數，如果在的某個鄰域內可微，就說該函數在點解析。

在某點解析的條件比在某點可微的條件更強，它必須要求在這個點的鄰域內可微，因此在某點解析的函數是無窮可微的，但在某一點無窮可微的函數不一定在該點解析，這樣的函數是存在的。

如果複變函數在閉域上解析，是說該函數在包含這個閉域的一個區域上解析。

如果複變函數在點不解析，但是在的任意鄰域內總有這個函數的解析點，我們就說是該函數的奇點。

在某個區域內如果某個函數有有限個奇點，它也可以算作是這個區域上的解析函數，因為我們研究解析函數的性質，著重在它的解析點上，因此容許有限個不解析點（奇點）存在。

在某個區間上處處不解析的函數是存在的，這類函數不在解析函數的研究範疇之內，諸如 C.-R.方程 設定義在區域上的複變函數，稱如下的方程組為對應於的Cauchy-Riemann方程（柯西-黎曼方程），簡稱為C.-R.方程 它是判斷複變函數在某點（區域）解析的必要條件，即如果複變函數在某點（區域）內解析，那麼必然滿足C.-R.方程，不滿足該方程的點或區域上該函數都不解析。

由此可得函數在定義域內一點可微的充要條件是二元函數在點可微且滿足C.-R.方程。

函數在區域上解析的充要條件是二元函數在區域上可微且滿足C.-R.方程。

性質 由於解析函數也是（無窮）可微函數的一種，可微函數的性質它也都具備，諸如求導法則、連續性、局部有界等等。

無窮可微性：由一個解析函數在某一點的解析性可以推出它在這一點的各階導數存在，這是後續冪級數展開的基礎。

平均值定理：設函數在開圓盤上解析，在上連續，那麼 極值原理（最大模原理）：設在區域內解析的不恆為常數的函數，它的模長在中的任何點都達不到最大值。

Cauchy不等式：設區域的邊界是周線，複變函數在內解析，在上連續，設，圓周及其內部全在區域中，那麼有其中，實際上，的定義可以改為 零點孤立性：非常數函數的解析函數的零點是孤立的。

唯一性定理：設在區域內解析的函數和，如果存在一個收斂點列有，其中，則和在內恆等。

Schwarz引理：在單位圓內解析的函數，如果，則在單位圓內恆有 解析變換與共形映射：揭示解析函數導數的幾何意義以及解析函數的變換性質。

解析的等價刻畫 Cauchy-Riemann方程：見上。

Cauchy積分定理及逆定理：函數在單連通區域內解析，若且唯若對任意周線，有 解析函數的泰勒展式：函數在點處解析，可以在該點的某鄰域內展成泰勒展式其中， 上下節 上一節：複變函數的導數 下一節：復指數函數 單複變函數論（學科代碼：1104120，GB/T13745—2009） 複數理論 複平面▪複數列▪棣莫弗公式▪復球面▪歐拉公式▪復幾何 複變函數以及微分理論 複變函數的極限▪複變函數的連續性▪複變函數的導數▪解析函數▪復指數函數▪復三角函數▪復雙曲函數▪復指數系函數的幾何形態▪多值函數▪輻角函數▪複對數函數▪復根式函數▪復冪以及一般冪函數▪復反三角函數 複變函數的積分理論 複變函數的積分▪Cauchy積分定理▪複變函數的不定積分▪Cauchy積分公式▪Liouville定理▪Cauchy型積分 複變函數的級數理論 複數項級數▪複函數項級數、復冪級數▪解析函數的泰勒展式▪解析函數的零點性質▪解析函數的洛朗展式▪解析函數的孤立奇點▪解析函數的無窮遠點性質▪留數理論▪留數的應用▪對數留數 複變函數的幾何理論 解析變換▪分式線性變換▪共形映射▪解析開拓▪完全解析函數▪整函數▪亞純函數 所在位置：數學（110）→函數論（11041）→單複變函數論（1104120） 分類：​ 函數論 單複變函數論 除非另有註明，否則社區內容均使用CC-BY-SA授權條款。

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