數的概念(第2 頁)

要想用「數學歸納法」證明「 (1+p)n > 1+np」，我們想證明「若n=k 時原式成立，則n=k+1 時原式亦成立。

」很幸運的，這個步驟並不困難。

  　1│2│3│4│5│6　 數的概念 （第2頁） 康明昌   首頁|搜尋 ．原載於數學傳播第六卷第四期、第七卷第一期 ．作者當時任教於台大數學系 ‧註釋 ‧對外搜尋關鍵字   2.數學歸納法       2.1什麼是數學歸納法？（一） 考慮以下的例題與「證明」。

例題1 求證 ，其中n是任意正整數。

證明： 若n=1，左式=13= =右式 若n=2，左式=13+23=9= =右式 若n=3，左式=13+23+33=36= =右式 若n=4，左式= 13+23+33+43=100= =右式 若n=5，左式= 13+23+33+43+53=25= =右式 以此類推，可知對於任意正整數n，原式都成立。

以上的「證明」有什麼錯誤呢? 我們想一想，以上的「證明」其實只證明n=1,2,3,4,5時，原式成立。

那麼時，有沒有證明呢？ 在，以上的「證明」只用「以此類推」就一筆帶過。

什麼是以此類推呢？以此類推是表示的證明幾乎和n=1,2,3,4,5的證明完全一樣。

可是我們想一想，即便我們知道13+23+…+53的數值，我們是否能夠很容易的推出13+23+…+1003的數值呢？如果不能，n=100的證明顯然就不能夠用以此類推矇混過去。

有些同學可能會說：你既然不相信我能夠證明n=100，我就證明給你看。

你只要給我一小時的時間，我就可以求出13,23,33,…,1003，再求其和，然後證明這個式子。

問題就在這裏：你要用一小時的時間證明n=100的情形，你究竟要用多少時間才能證明n=103的情形？此外，在103之後，還有無窮無盡的正整數等著你一個一個去驗證呢！ 愚公想用幾代子孫的力量把一座山搬走，因為一座山的範圍是有限的。

我們現在問題的核心，正整數，是無限的。

愚公移山式的方法，顯然不能解決我們的問題。

想個新的方法吧。

假設我們能夠證明「若k是任意正整數，並且n=k時原式成立，則n=k+1時原式亦成立」，那麼我們就可以輕而易舉的證明這個恒等式了。

為什麼呢？ 例如，你想證明n=100時原式成立，依照上面的假設，你只要證明n=99時原式成立就夠了。

那麼n=99時原式會不會成立呢？再用一次我們的假設，我們只要證明n=98時原式成立就夠了。

那麼n=98時原式會不會成立呢？再用一次我們的假設，我們只要證明n=97時原式成立就夠了。

以此類推，我們只要n=1時原式成立就夠了。

更一般的說，我們不要把n限制為100，現在讓n是任意正整數。

假定我們能夠證明我們最先的假設是成立的，那麼只要我們能夠證明n=1時原式成立，我們就可以推出n是任意正整數時原式亦成立。

這就是數學歸納法。

數學歸納法的要點是： 一、證明n=1時原式成立。

二、若k是任意正整數，證明「若n=k時原式成立，則n=k+1時原式亦成立」。

現在我們把例題1.的正確的證明寫在下面。

證明： (1)若n=1時，左式=13=1= =右式 (2)設k是任意正整數。

證明:若n=k時原式成立，則n=k+1時原式亦成立。

假設n=k時，原式成立，即13+23+…+k3= 。

考慮n=k+1的情形。

(3)綜合(1)與(2)，可知：對於任意正整數n，原式皆成立。

注意:一般學生在運用數學歸納法時，常會犯下如下的錯誤，如 一、在第(1)步驟時，許多學生可能以為n=1時太簡單了，不好意思寫這麼簡單的證明，因此他在這個步驟寫n=4或n=5時的證明。

請注意，你如果這樣寫的話，你只證明原式在或時成立，你並沒有證明原式對於任意正整數n都成立。

（為什麼？） 還有些同學比較客氣，他們也不好意思只寫n=1時的證明，他們大概覺得寫得太少不太好，所以他們在這個步驟寫上n=1,2,3時的證明。

這是過分小心的。

大膽一點，只要寫上n=1的證明就夠了。

二、最常見的，也是最嚴重的錯誤是以下的類型： (1)n=1時原式成立。

(2)n=k時原式成立， 即 n=k+1時，左式= (3) 以上的錯誤的寫法是在第(2)步驟。

錯誤的地方是，沒有明白的指出「n=k時原式成立」這件事究竟是你已經證明出來的，還是你的假設。

例題2 若p>-1，且，證明 (1+p)100>1+100p。

想法： 如果p>0，由二項式定理 可得 (1+p)100>1+100p。

問題在，如果-1

1+np」是否恒成立？ 要想用「數學歸納法」證明「 (1+p)n>1+np」，我們想證明「若n=k時原式成立，則n=k+1時原式亦成立。

」很幸運的，這個步驟並不困難。

但是n=1時，「1+p>1+p」並不成立！ 幸好n=2時， (1+p)2=1+2p+p2>1+2p。

所以我們的猜測應該修正為：「若，且n是正整數，則 (1+p)n>1+np，其中p>-1，。

」 證明： 我們要證明，(1+p)n>1+np，其中，n是正整數。

用「數學歸納法」證明。

(1)n=2時，左式=(1+p)2 =1+2p+p2 >1+2p =右式 (2)證明：若n=k時，原式成立，則n=k+1時原式亦成立。

由n=k時原式成立，得 (1+p)k>1+kp。

考慮n=k+1的情形， 左式 =(1+p)k+1=(1+pk)(1+p) >(1+kp)(1+p)=1+(k+1)p+kp2>1+(k+1)p=右式 (3)綜合(1)與(2)，可知原式對於的整數都成立。

因此 (1+p)100>1+100p，得證。

例題3 若n是任意正整數，試證 是正整數，並且可被2n+1整除。

想法： 檢查「若n=k時成立；則n=k+1時成立」是否辦得到。

由n=k成立得 ， 其中a是某個正整數。

考慮n=k+1的情形。

現在如果我們知道「 是一個可被2k整除的正整數」，那麼n=k+1時就成立了！ 但是「 …」正好是n=k-1的情況。

所以在第(2)步驟，我們改作「若n=k，k+1時皆成立，則n=k+2時亦成立」。

為了順應第(2)步驟的修正，第(1)步驟要改成「n=1時原敘述成立，n=2時原敘述亦成立。

」 證明： 我們用「數學歸納法」證明。

(1)n=1時， 可被22整除。

n=2時， 可被23整除。

(2)證明：若n=k，k+1時成立，則n=k+2時亦成立。

由n=k時成立，得 由n=k+1時成立，得 其中a與b都是正整數。

考慮n=k+2的情形， (3)綜合(1)與(2)，可知 是一個可被2n+1整除的正整數。

「數學歸納法」是人類很早就非常熟悉的工具。

早在古希臘時代，Euclid（歐基里德，約300B.C.）在證明「質數是無窮多的」時，已經掌握了「數學歸納法」的基本精神（見下一小節的例題1）。

以後許多數學家都不自覺的利用「數學歸納法」證明各種問題。

第一個明確的指出「數學歸納法」的形成與原理， 是法國數學家BlaisePascal（巴斯噶1623-1662） 1 。

      習題1 證明 試用「數學歸納法」證明等差級數公式與等比級數公式。

證明 證明 520>320+420。

證明3n>n3其中。

（提示：你能否證明 若？） 證明「二項式定理」： 其中x是任意數，n是任意正整數， 。

證明 其中x是任意數，n是任意正整數。

設-10，故 xk+1