42304 由「太陽從西邊升起」談p 值的意義 - 中央研究院

以下我想討論的是, p 值其實是源自最基礎的邏輯論證, 有它相當「直觀」的解釋, ... 因為0 不可能等於1, 所以假設不正確, 所以, 其相反假說「最大的正整數不存在」才是 ... 42304由「太陽從西邊升起」談p值的意義 數學傳播 傳播數學知識．促進數學教育 切換 首頁 歷年季刊 季刊公告▾ 稿約 訂閱資訊 勘誤 詩歌散文 數播線上 專訪 聯絡我們 Search 由「太陽從西邊升起」談p值的意義 連怡斌,　 2018年9月(167) PDF 統計學 P值 假設檢定(hypothesistesting) 貝氏機率 信賴區間(confidenceinterval) 最近國際學術界又開始對所謂的p值做一連串的批判;著名的社會學學術期刊《政治分析》宣布在2018年起禁用p值,原因之一是p值無法對所給定的model 給予直觀的支持證據。

(參考http://www.sohu.com/a/218689757_119719)。

以下我想討論的是,p值其實是源自最基礎的邏輯論證,有它相當「直觀」的解釋, 可惜大多統計的教科書只強調其計算和機率分配的意義,其他領域學者常誤解其意義,而終究導致這統計學的「命根子」被排斥。

何謂p值？ 在科學研究上,我們常面對這樣的判別需求:有某個(新)理論是研究者認為可能是真的(例如:某種新研發出的降血壓的藥和傳統的藥相比,有不同的藥效)。

姑且稱之為假說$H_1$。

而其反面,也就是和$H_1$互為補集(complement)的說法就稱之為$H_0$; $H_0$:新藥和傳統藥的藥效相同, $H_1$:新藥和傳統藥的藥效不同。

研究者要如何說服同儕或大眾他認為的$H_1$是正確的呢？ 首先他透過試驗或調查後,得到某研究結果A。

接著算出,在$H_0$為真的前提下,得到結果A的機率,這就是所謂的p值。

若p值很小,研究者就推論:「$H_0$這前提不太可能為真」,所以「$H_1$應該是真」。

那p值要多小才算很小呢？ 其實沒有定論,但大多數接受「小於0.05就算很小」這樣的規則。

其實一個直覺的問題馬上跑出來:為什麼要繞一圈,靠說「$H_0$不太可能為真」來說明「$H_1$應該是真」？ 幹嘛不直接以機率衡量$H_1$真實的程度？ 由上例可看出一現實的困難:在$H_1$前提下要算出結果A的機率相對於p值要困難很多,因為所謂「藥效不同」有太多種不同法;藥效好很多跟好一點點都稱為不同, 在這些不同的情況要算得到結果A的機率需其他條件;但「$H_0$:相同」下就很直接。

不過用計算上的理由來為p值辯護,可能較難說服其他領域的學者。

本文要提的,是p值事實上是源自希臘亞里士多德所發展出來的邏輯辯證方法。

太陽從西邊升起 一些連續劇常會出現類似以下的一幕:丈夫跟妻子發誓:「如果我有做這件事,太陽就從西邊升起！」 當然,丈夫有沒有做這件事實在跟太陽沒半點關係;但他其實真正要表達的是:「因為太陽不可能從西邊升起,所以我沒有做這件事！」 換成邏輯的論證方式,第一句話是由論述$p$:「我有做這件事」推論到論述$q$:「太陽就從西邊升起」;表示成$p\toq$(若$p$則$q$)。

而學過基礎邏輯的都知道,和它完全相等的說法是$\simq\to\simp$(若非$q$則非$p$),也就是第二句話:「因為太陽不可能從西邊升起,所以我沒有做這件事！」 現在用統計假說檢定的方式來看,因為妻子懷疑「丈夫有做這件事」,所以我們將妻子的假說訂為$H_0$,而其相反訂為$H_1$: $H_0$:丈夫有做這件事, $H_1$:丈夫沒有做這件事。

依丈夫的論述,若$H_0$這個「因」的假設是正確的,那就會發生「太陽從西邊升起」這樣的果;但因發生這樣結果不可能(或者說,機率為零),所以 $H_0$的假設不可能對,換言之那就是$H_1$一定對。

這,不就是我們熟知的「反證法」,或稱「歸謬證法」或「矛盾證法」嗎？！ 說到這裡,如果您質疑我「說半天還是沒說丈夫到底做了什麼事」,那就真的搞錯重點了。

我要說的是,上例在假說檢定中,p值就是:「太陽就從西邊升起」的機率 (太太的懷疑是正確的前提下);因為p值為零,所以$H_0$的假說被推翻而$H_1$成立。

所以p值根本就是我們日常生活中以別種方式常常在用的推論工具！ 零與一 不久前我一位律師朋友在FB上有感而發: 「在科學上,你只能證明某件事存在,你永遠沒辦法證明一件事不存在;不存在的意思,只是現在還沒被發現$\cdots$」。

我回應他: 「在科學上,你絕對有辦法證明一件事不存在的,而且這類論證在日常生活中還常常在用$\cdots$」(事實上律師用最多！) 舉個高中學過的問題:「最大的正整數存不存在？」 大家都知道它不存在,但你如何論述？依照那位律師朋友的說法,「你認為不存在,只是你還沒找到而已啊！」幸好我們有上述的反證法: 假設最大的正整數存在,令它為$N$。

由此我們可推論, $N+1$仍為正整數, 任何整數加1後不可能變小,所以$N+1\geN$。

因$N$為最大的正整數,所以$N\geN+1$。

由上得到$N=N+1$,移項後$0=1$。

因為0不可能等於1,所以假設不正確,所以,其相反假說「最大的正整數不存在」才是正確。

再度用「假說檢定」的觀念來陳述 $H_0$:最大的正整數存在, $H_1$:最大的正整數不存在。

若$H_0$這個「因」的假設是正確的,那就會發生「$0=1$」這樣的果;但因發生這樣結果的機率(即p值)為零,所以「存在」的假設不可能對,換言之那就是$H_1$一定對。

統計歸謬證法 在社會或生物科學領域中,通常在$H_0$假設下所得的「果」機率很難為零,了不起就是「很小很小」而已。

第一例中,假如丈夫也不是那麼肯定他一定沒做,那他可能換種說法: 「如果我有做這件事,出去就給車子撞死！」 Well,出門會不會發生車禍這是難講一定不會發生,但機率肯定很小,就說是小於萬分之一好了。

依統計「假說檢定」的方式論述: 若$H_0$「丈夫有做這件事」的假設是正確的,就會發生「出去就給車子撞死」這樣的果;但因發生這樣結果不「太」可能(機率小於萬分之一), 所以$H_0$的假設不「太」可能對,換言之那就是$H_1$「非常可能」對。

相對於前面兩例的「數學反證法」,這種論述我們可稱之為「統計反證法」或「統計歸謬證法」;而p值就是「出去就給車子撞死」的機率(在$H_0$前提下)。

再舉一個相當直觀的例子。

莊家提供了一其號稱公正(正反機率各半)的銅板和賭客對賭丟銅板的遊戲:正面賭客贏,反面賭客輸。

結果連玩10次竟然都是反面,賭客便控訴莊家的銅板不公正。

您認為賭客的控訴合理性多高？ 莊家當然可辯稱:說不定再多丟十次,結果會都是正面,那不就公正了嗎？ 將兩人的爭執以假說檢定的方式呈現: $H_0$:銅板公正, $H_1$:銅板不公正。

那有沒有可能銅板是公正($H_0$正確),只是賭客運氣不好？ 當然有可能。

只是,這麼「背」的運氣發生機率是多少？ 簡單計算下為$(1/2)^{10}=1/1024$(小於千分之一)。

也就是說若$H_0$正確,結果發生了機率很小(小於千分之一)的情形,所以賭客推論:銅板很可能不公正。

若這樣的推論,您認為說服力不夠強(千分之一也不小啊),那考慮若賭客連擲30次皆反面的情形,也就是「若銅板是公正,發生這情形的機率近乎不可能」 ($(1/2)^{30}$小於億分之一),這樣「證明」銅板有問題的說服力可能大多數人認為夠強了！反過來說:若賭客連擲3次皆反面,就指控不公正,這樣的說服力就較前者差, 因為發生這情形的機率「尚有八分之一」($(1/2)^3$)。

在這例子中,不管擲出幾個連續反面,你永遠無法像證明無最大自然數的例子一樣,得到絕對為零的p值。

簡而言之,數學反證法,是將預期要被推翻的說法放在$H_0$,而其相法的說法放在$H_1$;當$H_0$果真被推翻時,等同於支持了$H_1$的正確性。

而何時$H_0$可被被推翻？就是 當$H_0$衍伸或推論出來的結果為絕不可能發生的事(如「太陽從西邊升起」,或「$0=1$」)時,就果斷推論$H_0$絕對錯誤(即,$H_1$絕對正確)。

而統計反證法和數學反證法唯一的不同,是考量現實世界的複雜性,將話說的委婉些: 當$H_0$衍伸或實驗出來的結果為不太可能發生的事(如「公正銅板連擲30次皆反面」)時,就推論$H_0$非常可能是錯誤(即,$H_1$很可能正確)。

而p值,只是$H_0$衍伸或實驗出來之結果其發生的機率！ 換句話說,它是如 「太陽從西邊升起」,或「公正銅板連擲30次皆反面」的機率,而非「丈夫有沒做這件事」或「銅板是否公正」的機率。

而我前面曾提到,這種反證法,倒是律師/法官們最常用。

對某個命案的被告嫌疑犯,其審判結果只能是以下兩者其中之一: $H_0$:被告無罪, $H_1$:被告有罪。

檢察官必需提出有力的證據支持$H_1$,才能說服法官判其有罪。

原則上,被告無須證明自己無罪,這是無罪推定論的原則。

假設警方發現命案現場兇手留下的血跡,經DNA比對,和被告「相當相似」。

如何個相似法呢？ 這裡講「基因相似度」是沒太大意義的,因為隨便找一同性別的白人和黑人,其基因相似度就高達99.99%,那「更相似」是指 99.999%還是99.9999%？ 較科學的說法,是反過來講:每一百萬人的基因中,才會有一個人其基因湊巧和兇手如此相似;所以如果被告是無辜的($H_0$正確),那他/她純粹是運氣差,DNA 和兇手湊巧如此相似的機率為百萬分之一。

也就是p值為百萬分之一。

在這種情況下,法官要有一個閥值:若這「誤判的機率」(即p值)真的夠小,那就判他有罪吧！ 你可以說為避免冤枉好人,這閥值要很小,如千萬分之一或十億分之一才判有罪,但不能說一定要為零才能判有罪。

因為除非你就不要相信DNA提供的證據,否則這證據誤判的機率跟擲銅板的例子一樣,只可能很小很小,但永遠不會為零。

不要p值之後呢？ 醫學期刊或社會學期刊認為p值無法對給定的模式(也就是假說本身如$H_0$或$H_1$)直接支持的證據,這也是實情:p值的確無法直接描述$H_0$或$H_1$為正確的機率。

但問題是,也沒有其他有根據的值可以來描述這件事啊！ 在很多情況下,$H_0$或$H_1$的正確與否,根本無機率可言,例如「丈夫有沒做這件事」或「被告是否犯案」是已發生的事,他要嗎就有,要嗎就沒有,機率不是0就是1。

如果一定要賦予這假說一個機率,那可能只有利用貝氏機率的方法。

但用貝氏方法的前提,是要能有足供信賴的priorinformation,如先驗機率等,但這不在本文範疇,不在此詳談,我只能說在很多研究上這是個不易擁有的奢侈品。

至於所謂的其他替代方式,如「信賴區間」,如果是熟知統計估計與統計檢定的機率基礎的人,就瞭解其實兩者是基於同樣的機率架構,只是換個說法而已。

事實上個人感覺,「信賴區間」表面上看起來較直觀,但實際意義還較p值更難解釋些。

數年前台灣高中教材放入信賴區間,就把高中老師們弄得雞飛狗跳,不知如何教才對！最後不得已還是將它拿掉。

反之,如果你能接受反證法是個推論邏輯命題正確與否的好方法,那就比較容易接受「p值還算是個相對不錯的評估工具」。

但重點是,統計教師們要能將p值跟這常用的邏輯脈絡做連結,說明當初紐曼(Neyman)及皮爾生(Pearson)在 1933提出p值時的觀點,是相當符合人類思考方式的。

如此或有可能說服其他領域的學界重新接受p值的價值,並減少對它的誤解。

---本文作者為國立彰化師範大學統計資訊所及數學系教授--- fiber_new 近期簡介  前期簡介  歷年季刊 ✏ 稿約  訂閱及編者訊息