高中數學教師推薦高中學生課外讀物

筆者目前從事高中數學教育，在課堂上也常推薦許多優良課外書供學生自習之用，本篇文章乃筆者將高中學生所合適的數學科普書籍分年級論述，希望就推薦書籍的內容與歷史層面做 ... 高中數學教師推薦高中學生課外讀物 蘭陽女中 陳敏皓老師     “Access istheking,contentistheking.”（容易取得是關鍵，內容決定一切。

）這是《商業周刊》（BUSINESS WEEKLY）第808期所闡述的一個重要觀念，筆者想引用此段話來當文章的開頭。

以下所介紹的書籍都是學生所容易取得的，更重要的是內容是非常適合高中學生的。

  近年來數學科普書籍日益繁多，國內外許多大學數學系教授為了往下紮根，紛紛出了值得高中學生閱讀的數學書籍，雖然許多所創造出的內容表徵（representation）差異頗大，但是絕大部份都沒有脫離高中數學的學習範圍，因此高中老師就責無旁貸擔任推薦人的角色了，這些書都有一個共同特色就是強調思考歷程，利用數學的方法論來使問題更加嚴謹，期許高中學生能從中學習到更多的數學知識，並且也著重數學歷史背景與人文架構，1讓讀者減輕不少閱讀壓力，也藉著數學人文思想方向來省思數學與人類之間的調和關係。

筆者目前從事高中數學教育，在課堂上也常推薦許多優良課外書供學生自習之用，本篇文章乃筆者將高中學生所合適的數學科普書籍分年級論述，希望就推薦書籍的內容與歷史層面做簡要的分析與介紹，如果能因此激起高中學生閱讀一些原著的興趣，那筆者就倍感欣慰了。

壹、 高一部份 高一上有一部份是討論「無窮等比級數」的概念問題，通常學生是會利用公式 （S代表無窮等比級數，r代表公比，a代表首項）求解，但由於是第一次接觸到無窮的概念（國中未提），難免無法很快理解真正的意涵，我通常建議學生去閱讀《幹嘛學數學？》中第十八章〈級數的總和〉，作者逐步推論的方式慢慢引導學生去『做』（而非去『想』），讓學生由自己的計算過程中得到需要的「無窮」、或「無限小量」（infinitesimal）的概念，也花一點篇幅述說級數的用途與無窮概念的重要性。

2 相信教過高一數學的老師們都一定對於學生學習「三角函數」的成果不敢茍同，我想很重要的因素在於目前國三已經刪除「三角函數」這個單元，學生必須在很短暫的時間內學習許多定義、性質，甚至證明，所以若有適當的課外輔助題材，那麼將強化學生學習動機，例如我常推薦學生閱讀《數學的發現趣談》，書中的〈從畢氏定理到餘弦定律〉、〈餘弦定律的追尋〉、〈畢氏定理的故事〉、〈談Heron公式〉等單元都是值得細細品味的文章，看蔡聰明教授親切且簡潔的切入主題，讓讀者在不知不覺中便獲得數學知識與常識，書中常用實驗、觀察、猜測、檢驗、證明等方式來述說一個定理或性質，將整個探索過程，匯流而成一個數學支流，進而貫通整個數學領域。

同時，作者的人文素養佳也是本書的特色，他常舉一些名人的數學學習過程來勉勵學子，例如：愛因斯坦（Albert Einstein,1879-1955）在他的《自傳註記》（Autobiographical  Notes）中寫道： 小時候，有一位叔叔告訴我畢氏定理。

經過許多努力，我自己終於利用相似三角形的道理（作一條輔助線），證明了這個定理。

在這個過程中，我發現一個直角三角形的邊與邊之比由一個銳角完全決定。

3 然而此書也試著用數學家的魅力來澄清一些學習的觀念，例如一般學生最害怕“數學證明”，然而數學家羅素（B. Russell）卻認為：「在數學中最令我欣喜的是事情能夠被證明（Whatdelightedmemostaboutmathematicswasthatthingscouldbe proved.）」，這是一句多麼強而有力的話！ 然而除了《數學的發現趣談》這一本好書外，針對高一下學生所學習的〈指數與對數函數〉（index andlogarithmfunction）、〈三角函數〉單元，就不得不提起毛爾教授（Eli Maor）的《毛起來說e》（e：TheStoryofANumber）與《毛起來說三角》（Trigonometric Delights），先談第一本書《毛起來說e》，書中有詳細的介紹對數的歷史淵源，及創始者蘇格蘭數學家納皮爾（John Napier，1550－1617）的故事，同時說明為什麼納皮爾要創造對數，4及對數在數學中的重要性，正如數學史家卡約里（Florian Cajori）在《數學史》(A HistoryofMathematics)中所言： 現代微積分的神奇力量源自三項發明：阿拉伯符號、小數、對數。

可見為學習對數下了最佳註解，所以，當學生閱讀《毛起來說e》前半部後，便可以幫助學生迅速進入學習狀況，書中同時介紹如何「利用對數做計算」（這通常是學生較弱的地方），此外還說明 的意義與「二項式定理」（binomial formula）的關係，5這個地方，大概就需要數學程度較好的學生才能理解。

至於《毛起來說三角》，也是由毛爾教授所寫的。

該書是完全針對三角函數所寫的專書，如同《毛起來說e》一樣，它也得到許多數學家與科學史家的讚譽。

6但是，它絕非是一本三角學的教科書，作者試著從歷史發展的脈絡下來介紹三角學相關的課題，以及與其他理工學科之間的關係。

毛爾教授首先找尋到古埃及的三角測量問題，進而引入「角」、「弦」之間的互換方式，接著讓六個三角函數粉墨登場，待釐清正弦定理、托勒密定理、二倍角公式等後，才真正進入複數平面的世界中，並且詳實引述棣美弗如何利用複數極式來解代數問題（例如：解 ）。

英國詩人波普（Alexander Pope）曾在他的作品《人的禮讚》中向棣美弗表示敬意： 是誰讓蜘蛛如棣美弗那般精確， 不靠量尺準繩就設計出圖樣？ 值得一提的是在閱讀《毛起來說三角》的過程中，作者巧妙地穿插數學史典故，例如：第13頁所提的「古埃及的數學娛樂」、7第37頁的「普林頓322：最早的三角函數表？」、8第53頁介紹數學家「雷吉蒙塔努斯」9、第73頁的「維埃塔與四十五次方程式」10、第104頁的「打敗牛頓的棣美弗」等，11這些數學史資料都是十分引人入勝的。

貳、高二部份 日前有一本針對「機率論」所寫的專書，就是由弘智文化所出版的《機率的樂趣》（The PleasuresofProbability），12此書很有系統地利用真實生活情況所提供的樣本空間，轉換成抽象概念的數學模式（mathematical model），隨後採用機率理論來解決生活周遭所遇到的難題。

同時利用淺顯易懂的文字娓娓道來隨機變數、條件機率、貝氏定理、13獨立事件、期望值、馬可夫鍊等重要機率概念，14相信學生再熟稔此書之後對於「機率論」必有更深一層的認知，因此，使用《機率的樂趣》來當作學習機率的補充教材，是非常適當的。

可惜，作者未能詳述巴斯卡（Blaise Pascal，1601-1665）與費瑪(PierredeFermat，1601-1665) 之間因通信而建立「機率論」的過程，實屬憾事。

15     另一本介紹敘述統計的專書就是《統計，改變了世界》（The LadyTastingTea－How StstisticsRevolutionizedScienceintheTwentiethCentury），光聽書名就曉得這一定是必讀的書，很難以想像統計學能運用在不同領域－物理化學、農業研究、藥物學、臨床醫學、流行病學、製造學、經濟學、品管學、民意調查等，包含之大，令人無法抗拒學習「它」的魅力！學生可以從書中知道標準差的意義、四分位差的重要性、及如何利用敘述統計來進行決策分析。

現今人們面臨的敘述統計問題，可利用數學觀念區分成三個面向：隨機（randomness）、機率（probability）、統計（statistics），我們應該先釐訂問題類型而後加以解決之道，可見在高二下所學習到數學知識範疇是非常具有「實用性」。

因此，未來科學家將逐漸開始以新的典範（paradigm）來運作，而這些典範就是現實世界的統計模型，在邁入新的世紀之初，幾乎所有的科學都已經轉而運用統計模型了，所有人都無法將統計學這門學問置身事外。

參、高三部份 高三自然組中的數學「微積分」，通常是讓學生又愛又討厭的，愛的是它是如此神奇，居然可以藉著簡單的微分動作（即藉由求導函數以求得切線斜率，或藉此求得函數的極值（極大、極小值），同時，也可以很快算出物體運動時的瞬時速度；討厭的是那些惱人的數學專有名詞與符號體系（symbolism），真是令人吃不消，例如：專有名詞中的可數與不可數（countable anduncountable）、連續性與不連續性、存在性與否（existence ornot）、收斂與發散等；符號體系如lim（極限）、∞（無窮大）、∫（積分）、ε（任意小）、 （存在）、 （對於所有）、 （微分）等，都會讓學生望而卻步。

但是，如果學生能先閱讀《微積分之旅》（A TouroftheCalculus），由作者伯林斯基（David Berlinski）帶領下，緩緩了解微積分組成的基本要素，親近微積分形成的歷史脈絡，從芝諾（Zeno, 490？-430？BC）、笛卡兒（Rene Decartes,1596-1650）、萊布尼茲（Gottfried WilhelmLeibniz,1646-176）、牛頓（Isaac Newton,1643-1727）、白努力（Jakob Bernoulli,1654-1705）、歐拉（Leonhard Euler,1707-1783）、黎曼（Bernhard Riemann,1826-1851）等數學家的貢獻下，始有號稱是「人類奇蹟」的微積分的問世。

16 高三數學乙下冊中第二章、〈幾何圖形〉，主旨是討論平面或空間的幾何圖形，先從基本圖形出發，進而探討連續圖案，尤其是以正多邊形鋪成平面的「勻稱連續圖案」，學生可以參考《阿草的數學聖杯》的〈學篇〉、〈學篇〉，尤其是〈學篇〉中的對稱（鏡射）、平移、三種運動、旋轉、平移對稱、旋轉對稱、鏡射再鏡射、平面鋪磚等單元都是非常高三社會組學生閱讀的題材，而這些「尋求數與形的規律」，可以透過通性、風格、式樣、花樣、形態、圖像、結構、特色、模式等，或多或少許多規律可尋，而這些廣泛的規則，可將稱之為「胚騰」（pattern的音譯與意譯）。

17曹亮吉教授希望藉此書讓學生認識數學、了解數學，進而親近數學、喜歡數學，誠如序言所提：「希望這本書能帶給讀者尋找數學聖杯的喜悅與衝動。

」18     此外，學生常常問老師一個問題：「老師，為什麼要學這麼多的問題？」通常我會引用《幹嘛學數學？》封面的一段話：「每三個高所得的工作中，有兩個需要比算術更高深的數學。

」如果您覺得這句話的銅臭味太重，不妨引用約翰．納許的一段話：19「有人問他，不斷從事學術研究的動力究竟是什麼？納許說：『他的動力來自對事物的無知，這和一般人以工作成就或是金錢收入為動力是不』同的。

」」如果你是對數學史、科學史有興趣的同學，你絕不能錯過洪萬生教授的《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》，其中幾篇文章都將引導你進入數學史的天地中，20一個值得遨遊的新天地！而近年來有關於數學史的專書，就不得不提及《費馬最後定理》（Fermat's LastTheorem），雖然「費馬最後定理」已經於1995年由劍橋大學教授安德魯．懷爾斯（Andrew Wiles）證明完成，但是，不論是費馬那本著名的頁邊筆記，21或是加羅瓦（Évariste Galois,1811-1832）的美麗與哀愁的故事，22或是懷爾斯教授圓一個小時候夢想的點滴，都是學生可以利用課餘時間欣賞的題材。

23 至於學生學習數學過程中，有一個數值是最吸引人、最令人忘我就是圓周除以直徑的比率，也就是圓周率π，如果你看過《神奇的π》（The joyofπ），你就不得不佩服作者大衛．布拉特納（David Blatner）的深厚數學素養（mathematical literacy）與鉅細靡遺的數學史資料。

作者以有趣的方式來陳述數學家對於圓周率π的狂熱，沒有看過此書的人，很難想像有人竟然會花一輩子的精神，去求圓周率π的小數精確位數值；看過此書的人，將對圓周率π另眼相看，它的魅力絕不容小覷。

最後再談及《歐幾里得之窗－從平行線到超空間的幾何學故事》（Euclid's Window：The StoryofGeometryfromParallelLinetoHyperspace），你可以視它為小說來閱讀，讀起來既無進度壓力，也無考試的重擔，你可以沏一壺茶或品嚐一杯香濃咖啡，同時神遊在幾何學的世界中，這種享受是言語無法形容的！     總之，“Accessis theking,contentistheking.”高中數學老師在學生學習數學歷程中扮演一個「承先啟後」的角色。

現在，我們所擁有的資源遠遠勝過十年前數倍，科普書的內容呈現方面也更體貼讀者。

然而，若老師們忽略「介紹課外讀物」的重要性，那麼，學生的眼界勢必如井底之蛙、目光如豆，同時，容易因為數學成績的起伏而影響學習動機。

另外，我們都太強調學校的「數學教育」，而沒有家庭的「數學教育」，筆者建議你敢快去看《數學小魔女》，24作者曾說：「我的數學教育是從爸爸給的謎題開始的，在不知不覺之中，讓我有自信可以解決問題。

」相信看完之後，你一定會對家庭的「數學教育」有另一番見解與認知。

附註 1.例如直角三角形的斜邊稱為hypotenuse，原來在希臘文中是「用力拉緊」的意思，可參考《歐幾里得之窗－從平行線到超空間的幾何學故事》第19頁。

2.無窮概念的重要性在求曲線的斜率、及曲線下的面積就凸顯其重要性，詳情可參考《幹嘛學數學？》（Strength inNumber）第28章、〈曲線有多斜？〉及第30章、〈求得曲線下的面積〉。

3.參考蔡聰明，《數學的發現趣談》，台北，三民書局，2000年，第55頁。

4.納皮爾於《對數的奇妙準則》（1614）中說：「要實際應用數學，我看最大的障礙就是在處理很大的數字的相乘、相除，或者求取二次或三次方根……因此我開始思考，有沒有什麼方法可以去除這些障礙。

」， 5.e的近似值約等於2.71828，它在數學運算、金融數學、大自然數學中都扮演重要的角色。

6.例如《大自然的數學遊戲》作者史都華（Ian Stewart）曾評論該書：「對於那些一直想知道三角學的起源、想知道三角有何用途的讀者，這本書可以帶給你許多啟發……」 7.介紹古埃及人的絕妙數學乘法運算，及一些等比數學問題。

8.巴比倫人利用泥版記載一些文明活動，現存的500,000塊泥版中約有300塊左右與數學有關，其中紐約哥倫比亞大學普林頓（Plimpton）編號322，因為泥版中有許多「畢氏三數組」而聞名。

9.雷吉蒙塔努斯（Johannes Regiomontanus,1436-1476）將希臘數學發楊光大，尤其重要的是將托勒密所著的希臘文《大匯編》譯成拉丁文，並於1464年完成著名的《論各種三角形》，該書仿歐幾里得（Euclid, 330？-260？BC）的《幾何原本》體例，把托勒密、印度、阿拉伯的三角學做有系統整理。

10.維埃塔（F.Viéta,1540-1603）一生中只利用閒暇時間研究數學，他把數學當成訓練智力的工具，他著有《解析技巧導論》，為代數符號的始祖；三角學方面，在1571年著有《三角形解法之數學準則》是西方第一人有系統運用三角函數解決平面與球面問題。

甚至利用正弦函數（sinα）與代數關係解出四十五次方程式而聲名大譟。

11.棣美弗（AlbrahamDe Moivre,1667-1754）在機率論、代數與三角學非常有成就，就連在牛頓晚年，有人請教他重力問題時，他曾說：「去問棣美弗先生吧！他比我還懂這些東西。

」 12.機率，有人譯為或然率，在哲學上有人譯為蓋然率，不管如何譯法通俗為佳。

13.ThomasBayes（1702-1761）是一位英國神學家兼數學家，利用機率的定義與想法，導出貝氏定理，即 （A,B為機率空間中的任何事件）。

14.馬可夫鍊是利用事件於單位時間（離散情形）的狀態，運用於長時間的「時間鍊」，故名馬可夫鍊。

15.針對機率論建立的過程，可參考拙作〈回溯機率小史〉，《人本教育札記》（2003年2月），第23-25頁。

16.參考伯林斯基（David Berlinski）著、陳雅茜譯，《微積分之旅》，台北，天下文化出版社，2000年，第6頁。

17.參考曹亮吉，《阿草的數學聖杯》，台北，天下文化出版社，2003年，第12頁。

18.參考曾政清，〈文化、生活與數學學習－分享《阿草的數學聖杯》〉，《數學新天地》第四期，2003年6月。

19.約翰．納許（John Nash）生於美國西維吉尼亞州，22歲獲得普林斯頓大學博士，30歲被《財星》（Fortune）雜誌列為新數學明星，31歲罹患精神分裂症，66歲獲諾貝爾經濟獎，創立的賽局理論（Game theory）為世人所重視。

20.《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》中的〈誰發明了代數學？〉、〈從開四次方根談起〉、〈古代中國的幾何學〉等，都是值得細細品味的文章。

21.費馬在珍藏的古拉丁譯本《數論》（Arithmetica）書中寫道：「除了平方之外，一個n次方數不能表示成兩個n次方數的和（ ），我已經找到了一個非常美妙的證明，然而這裡的篇幅不足以讓我寫下這個證明。

」 22.加羅瓦（Évariste Galois,1811-1832）在中學時代就展露過人的數學才華，發展出完整的加羅瓦理論（Galois Theory）。

他在1832年5月30日與人決鬥身亡，一生的故事宛如一齣美麗與哀愁戲劇。

23.安德魯．懷爾斯（Andrew Wiles）從小就立志要證明「費馬最後定理」，在歷經7年的孤獨奮鬥之後，與兩位摯友的全力協助，終於完成一幅美麗的拼圖，順利證明出定理。

24.《數學小魔女》一書的作者是1999年愛爾蘭、歐洲青少年科學家首獎得主Sarah Flannery，書的內容非常適合親子閱讀，或對高中女生更有說服力。

其中有關「密碼學理論」更是國內高中數學教育所缺乏的。

參考書籍         1.蔡聰明(2000)，《數學的發現趣談》，台北：三民書局。

        2.曹亮吉(2003)，《阿草的數學聖杯》，台北：天下遠見出版社。

        3.毛爾教授（EliMaor）(2000)，《毛起來說三角（Trigonometric Delights）》，胡守仁譯，台北：天下遠見出版社。

        4.毛爾教授（EliMaor）(2000)，《毛起來說e（e：The StoryofANumber）》，胡守仁譯，台北：天下遠見出版社。

        5.伯林斯基（David Berlinski）(2000)，《微積分之旅（A TouroftheCalculus）》，陳雅茜譯，台北：天下遠見出版社。

        6.SarahFlannery、David Flannery(2001)，《數學小魔女》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版社。

        7.曹亮吉        (1996)，《阿草的葫蘆－文化活動中的數學》，台北：遠哲基金會。

        8.大衛．布拉特納（David Blatner）(1999)著，《神奇的π（The joyofπ）》，潘恩典譯，台北：商業周刊出版股份有限公司。

        9.斯坦（ShermanK.Stein）(1999)，《幹嘛學數學？（Strength inNumber）》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版社。

        10.阿米爾．艾克塞爾（Amir D.Aczel）(1998)，《費馬最後定理（Fermat's LastTheorem）》，林瑞雲譯，台北：時報文化出版社。

        11.李奧納多．曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）(2002)，《歐幾里得之窗－從平行線到超空間的幾何學故事（Euclid's Window：The Storyof GeometryfromParallelLinetoHyperspace）》，陸劍豪譯，台北：究竟出版社。

        12.洪萬生(1999)，《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》，台北：九章出版社。

        13.RichardIssac(2002)，《機率的樂趣（The PleasuresofProbability）》，陳尚婷、陳尚瑜譯，台北：弘智文化事業有限公司。

        14.亞伯特．賈夸（Albert Jacquard）(2002)，《睡蓮方程式－學習科學的樂趣（L’Equation dunénuphar－Les plaisirsdelascience）》，陳太乙 譯，台北：究竟出版社。

        15.薩爾斯伯格（David Salsburg）(2001)，《統計，改變了世界（The LadyTastingTea－HowStstistics RevolutionizedScienceintheTwentiethCentury）》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版社。