數學分析- 維基百科，自由的百科全書

數學分析學，也稱分析數學、分析學或解析學（英語：Mathematical Analysis），是普遍存在於大學數學系所的一門基礎課程。

大致與非數學系所學生所學的高等數學課程內容 ... 數學分析 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 微分方程式中的奇異吸子，微分方程式是泛數學分析（指數學分析及其緊密相關的後續學科的簡稱）中的重要領域，在科學及工程中有許多的應用 數學分析學，也稱分析數學、分析學或解析學（英語：MathematicalAnalysis），是普遍存在於大學數學系所的一門基礎課程。

大致與非數學系所學生所學的高等數學課程內容相近，但內容更加深入，一般指以微積分學、無窮級數和解析函數等的一般理論為主要內容，並包括它們的理論基礎[註1]的一個較為完整的數學學科。

[1] 數學分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。

數學分析是由微積分演進而來，在微積分發展至現代階段中，從應用中的方法總結升華為一類綜合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以認為這些應用方法是高等微積分生成的前提。

數學分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓撲空間）或是有針對兩物件距離的定義（度量空間），就可以用數學分析的方式進行分析。

目次 1歷史 2重要概念 2.1度量空間 2.2數列及極限 3分支領域 4其他主題 5應用 5.1物理科學 5.2信號處理 5.3其他數學領域 6文獻 6.1教材 6.2論著和習題集 7注釋 8參考文獻 8.1引用 8.2來源 9外部連結 10參見 歷史[編輯] 亞里斯多德用窮竭法計算圓的面積，方法是以邊數越來越多的內接或外切正多邊形逼近。

這是一個非正式的極限的例子，而極限也是數學分析的基本概念 在古希臘數學的早期，數學分析的結果是隱含給出的。

比如，芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和。

[2]再後來，古希臘數學家如歐多克索斯和阿基米德使數學分析變得更加明確，但還不是很正式。

他們在使用窮竭法去計算區域和固體的面積和體積時，使用了極限和收斂的概念。

[3]在古印度數學（英語：Indianmathematics）的早期，12世紀的數學家婆什迦羅第二給出了導數的例子，還使用過現在所知的羅爾定理。

歷史上，數學分析起源於17世紀，伴隨著牛頓和萊布尼茲發明微積分而產生的。

在17、18世紀，數學分析的主題，如變分法，常微分方程式和偏微分方程式，傅立葉分析以及母函數基本上發展於應用工作中。

微積分方法成功的運用了連續的方法近似了離散的問題。

貫穿18世紀，函數概念的定義成為了數學家們爭論的主題。

到了19世紀，柯西首先地通過引入柯西序列的概念將微積分建立在一個穩固的邏輯基礎之上。

他還開始了複分析的形式理論。

卜瓦松、萊歐維爾、傅立葉以及其他的數學家研究了偏微分方程式和調和分析。

18世紀中葉，黎曼引入了他的積分理論。

在19世紀的最後第三個年代還產生了魏爾施特拉斯對於分析的算術化，他認為幾何論證從本質上是一種誤導，並提出了極限的(ε,δ)定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit）。

此時，數學家們開始擔心他們在沒有證明的情況下假設了實數連續統的存在。

戴德金用戴德金分割構造了實數。

大約在那個時候，對黎曼積分精煉的種種嘗試也引向了實數函數的非連續集合的「大小」的研究。

在19世紀末時，也發現了許多病態函數，像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線（英語：Space-fillingcurve）等。

卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。

在20世紀初期，利用公理化的集合論將微積分進行形式化，昂利·勒貝格解決了量測問題，大衛·希爾伯特導入了希爾伯特空間來求解積分方程式。

賦範向量空間的概念已經提出，1920年代時斯特凡·巴拿赫創建了泛函分析。

重要概念[編輯] 度量空間[編輯] 主條目：度量空間 數學中的度量空間是一個集合，而集合中兩個元素的距離（叫做度量）有清楚的定義。

大部份的數學分析都是針對特定的度量空間，最常見的是數線、複數平面、歐幾里得空間、其他向量空間及整數。

數學中沒有度量的分包括有量測理論（描述大小而不是距離）及泛函分析（研究不需要距離概念的拓撲向量空間） 度量空間是一個有序對 ( M , d ) {\displaystyle(M,d)} ，其中 M {\displaystyleM} 是一集合，而 d {\displaystyled} 為 M {\displaystyleM} 中的度量（也是函數） d : M × M → R {\displaystyled\colonM\timesM\rightarrow\mathbb{R}} 使得針對任何的 x , y , z ∈ M {\displaystylex,y,z\inM} ，以下的敘述都成立： d ( x , y ) ≥ 0 {\displaystyled(x,y)\geq0}    （非負性） d ( x , y ) = 0 {\displaystyled(x,y)=0\,} 若且唯若 x = y {\displaystylex=y\,}    （不可分者同一） d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyled(x,y)=d(y,x)\,}    （對稱性） d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) {\displaystyled(x,z)\leqd(x,y)+d(y,z)}    （三角不等式） 數列及極限[編輯] 主條目：數列 數列是一個有序的列表，數列像集合一樣都是由元素組成，但和集合不同，數列有順序的概念，而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。

更準確的說法，數列可以用定義域為全序關係可數集（例如自然數）的函數來定義。

數列最重要的性質是收斂，若簡單的做非正式的定義，一數列若存在極限，表示此數列收斂。

若繼續下非正式的定義，一個無窮數列an，若在n非常大時接近一數值x，則稱此數列有極限，而其極限為x，因此極限也可以視為是數列趨向的數值[4]。

因此針對數列an，當n→∞時，an和x之間的距離會趨近於0： lim n → ∞ a n = x . {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=x.} 分支領域[編輯] 數學分析在當前被分為以下幾個分支領域： 實分析是數學分析中，專門處理實數及實值函數的一個分支[5][6]。

這包括對極限、微分、積分、冪級數和測度的研究。

複分析，是對從複平面到複平面的複數可微函數的研究，和複數的解析函數（或亞純函數）有密切的關係。

可以應用在許多不同的數學領域中，包括代數幾何、數論、應用數學等，也廣為應用在物理領域中，例如流體力學、熱力學、機械工程、電機工程及量子場論。

泛函分析探討函數空間及一些和向量空間相關的結構（例如內積、範數及拓撲空間）等，以及在作用在這些空間中的線性算子[7][8]，也會介紹例如巴拿赫空間以及希爾伯特空間的概念。

傅立葉分析研究如何將一個函數或者訊號表達為基本波形的疊加，並擴展成傅立葉級數和傅立葉變換的概念。

微分方程式是未知數為一變數或多變數的函數，且方程式和函數其導數或高階導數有關的方程式[9][10][11]。

微分方程式在工程、物理、經濟、生物學中都是重要的一部份。

數值分析是研究數學分析中相關問題（和離散數學不同）中有關數值近似（和符號運算（英語：symboliccomputation）不同）算法的研究。

[12]。

許多問題的解析解是很難求得的，數值分析不在意解析解，比較著重在可接受的誤差範圍內找到近似解。

其他主題[編輯] 變分法處理泛函的極值，就像一般的微積分處理函數的極值一樣。

抽象調和分析處理傅立葉級數及其抽象化的應用。

幾何分析（英語：Geometricanalysis）將幾何方法用來研究偏微分方程式及將偏微分方程式理論應用在幾何學上。

克里福分析（英語：Cliffordanalysis）研究在狄拉克算子或是類似算子下會消失的克里福函數。

P進數分析是有關P進數的研究，P進數和一般實數及複數有些微妙的不同。

非標準分析是研究超實數及其函數，對於無窮小量及無窮大的函數有嚴謹的處理。

可計算性分析（英語：Computableanalysis）研究可以用可計算性理論進行的分析。

隨機分析是針對隨機過程進行的解析式方法。

集值分析（英語：Set-valuedanalysis）集值函數的分析及應用。

凸分析（英語：Convexanalysis）是有關凸集合及凸函數的研究。

Tropical分析（英語：Tropicalanalysis）是在半環中Max-plus代數（英語：max-plusalgebra）的分析，是沒有加法反元素的代數結構。

當應用Tropical分析的技巧時，可以將一些非線性的問題轉變為線性的問題[13]。

應用[編輯] 數學分析的技巧可以用在其他以下的領域： 物理科學[編輯] 經典力學、相對論及量子力學中大部份的內容都是以數學分析及微分方程式為基礎。

其中重要的微分方程式包括牛頓第二運動定律、薛丁格方程式及愛因斯坦場方程式。

泛函分析是量子力學中的一個重要主題。

訊號處理[編輯] 訊號處理可以用在許多不同訊號的處理上，不論是聲音、無線電波、光波、地震波其至影像，傅立葉分析可以取出訊號中特定的成份，可以進一步將訊號加強或是移除。

大部份的訊號處理技術都包括了將訊號進行傅立葉轉換、轉換後訊號進行簡單的處理，再進行反轉換[14]。

其他數學領域[編輯] 數學分析的技巧可以用在以下的數學領域中： 解析數論 解析組合數學（英語：Analyticcombinatorics） 連續機率 資訊理論中的微分熵 微分賽局 微分幾何：將微積分應用在稱為流形的特殊數學空間中，流形有特殊的內在結構，但有單純的局部特性。

微分拓撲 金融數學 文獻[編輯] 教材[編輯] 《微積分學教程》(共三卷)格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茨著 《數學分析原理》(共兩卷)格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茨著 《數學分析講義》阿黑波夫著 《數學分析簡明教程》辛欽著 《數學分析》（共兩卷）卓里奇著 《微積分和數學分析引論》理查·科朗特著(參見台大部分老師的評論) 《數學分析》湯姆·麥克·阿波斯托著 《數學分析原理》WalterRudin（盧丁）著(參見台大部分老師的評論) 《陶哲軒實分析》陶哲軒著 《微積分入門》小平邦彥著 《高等數學引論》（共四卷）華羅庚著，高等教育出版社 《數學分析》（共兩冊）華東師範大學數學系 《數學分析》（共兩冊）歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋著 《數學分析》（共兩冊）陳紀修，於崇華，金路著 《數學分析新講》（共三冊）張築生編著 《數學分析講義》（共三冊）劉玉璉，傅沛仁著 《數學分析》（共三冊）周民強，方企勤著 《數學分析講義》（共三冊）陳天權編著 《簡明數學分析（第二版）》郇中丹、劉永平、王昆揚著 《數學分析教程（第3版）》（共兩冊）常庚哲、史濟懷編著 《數學分析》（共三冊）徐森林、薛春華編著 《數學分析》梅加強編著 《數學分析》（共兩冊）歐陽光中、姚允龍、周淵編著(復旦大學出版社官網的資訊:上冊,下冊) 《數學分析教程》（共兩冊）李忠方麗萍編著 論著和習題集[編輯] 《古今數學思想》1-4冊，莫里斯·克萊因著，上海科學技術出版社 《吉米多維奇數學分析習題集》鮑里斯·帕夫羅維奇·吉米多維奇著 《數學分析中的問題和定理》喬治·波利亞，G.Szego（舍貴）著 《數學分析八講》辛欽著 《微積分五講》龔升著 《重溫微積分》齊民友著 《數學分析習題課講義》（上下兩冊）謝惠民等著 《數學分析中的典型問題與方法》裴禮文著 《數學分析問題研究與評註》汪林等著 《數學分析拾遺》趙顯增著 《數學分析習題演練》周民強著 注釋[編輯] ^實數、函數、測度和極限的基本理論 參考文獻[編輯] 引用[編輯] ^《數學辭海（第一卷）》 ^Stillwell（英語：JohnStillwell）.InfiniteSeries.2004:170.無窮級數在古希臘數學中出現過，……例如，毫無疑問的，芝諾的兩分法悖論考慮了將1分解為無窮級數：1⁄2+1⁄22+1⁄23+1⁄24+...andthatArchimedesfoundtheareaoftheparabolicsegment(Section4.4)essentiallybysummingtheinfiniteseries1+1⁄4+1⁄42+1⁄43+...=4⁄3。

這些例子是幾何級數求和的一些特例。

 缺少或|title=為空(幫助) ^（Smith,1958） ^Courant,Richard(1961)."DifferentialandIntegralCalculusVolumeI",Blackie&Son,Ltd.,Glasgow.Courant,p.29. ^Rudin,Walter.PrinciplesofMathematicalAnalysis.WalterRudinStudentSeriesinAdvancedMathematics3rd.McGraw–Hill.ISBN 978-0-07-054235-8.  ^Abbott,Stephen.UnderstandingAnalysis.UndergradutateTextsinMathematics.NewYork:Springer-Verlag.2001.ISBN 0-387-95060-5.  ^Rudin,W.:FunctionalAnalysis,McGraw-HillScience,1991 ^Conway,J.B.:ACourseinFunctionalAnalysis,2ndedition,Springer-Verlag,1994,ISBN978-0-387-97245-9 ^E.L.Ince,OrdinaryDifferentialEquations,DoverPublications,1958,ISBN978-0-486-60349-0 ^WitoldHurewicz,LecturesonOrdinaryDifferentialEquations,DoverPublications,ISBN978-0-486-49510-1 ^Evans,L.C.,PartialDifferentialEquations,Providence:AmericanMathematicalSociety,1998,ISBN 0-8218-0772-2  ^Hildebrand,F.B.IntroductiontoNumericalAnalysis2ndedition.McGraw-Hill.1974.ISBN 0-07-028761-9. 引文格式1維護：冗餘文本(link) ^THEMASLOVDEQUANTIZATION,IDEMPOTENTANDTROPICALMATHEMATICS:ABRIEFINTRODUCTION.[2014-09-01].（原始內容存檔於2017-11-22）.  ^Theoryandapplicationofdigitalsignalprocessing Rabiner,L.R.;Gold,B. EnglewoodCliffs,N.J.,Prentice-Hall,Inc.,1975. 來源[編輯] 書籍 《數學辭海（第一卷）》，山西教育出版社，中國科學技術出版社，東南大學出版社 Smith,DavidE.1958.HistoryofMathematics.DoverPublications.ISBN978-0-486-20430-7. Stillwell,John.2004.MathematicsanditsHistory.2nded.SpringerScience+BusinessMediaInc.ISBN978-0-387-95336-6. 外部連結[編輯] 數學分析課程（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）-華東師範大學數學系 數學分析課程-北京大學數學科學學院 參見[編輯] 數學主題 微積分 高等數學 實分析 生成函數 泛函分析 傅立葉分析 複分析 微分拓撲 數值分析 窮竭法 閱論編數學（數學領域） 歷史 綱要（英語：Outlineofmathematics） 符號表 數學基礎 範疇論 集合論 數理邏輯 數學哲學 代數 抽象代數 初等代數 線性代數 多重線性代數 泛代數 數學分析 微積分 實變函數 複變函數 微分方程式 泛函分析 調和分析 離散數學 組合數學 圖論 序理論 博弈論 幾何學 代數幾何 解析幾何 微分幾何 離散幾何學 歐幾里得幾何 非歐幾里得幾何 有限幾何學 數論 算術 代數數論 解析數論 幾何數論 算術幾何 丟番圖幾何 拓撲學 代數拓撲 微分拓撲 幾何拓撲 統計學 測度與機率 數理統計學 數據科學 統計推論 迴歸分析 統計學習理論 機器學習 人工智慧 資料結構與算法 計算數學 計算機科學 計算理論 數值分析 最佳化 計算機代數 應用數學 控制論 資訊理論 計算化學 數理生物學 數理經濟學 計量經濟學 數理金融學 數學心理學 數學物理學 生物統計學 其它 數學史 娛樂數學 數學與藝術（英語：Mathematicsandart） 數學教育 注釋 數學的領域也可根據「MSC分類標準」或「中國學科分類國家標準」進行分類。

分類 主題 共享資源 專題 規範控制 BNE:XX525032 BNF:cb131626631(data) GND:4001865-9 LCCN:sh85082116 NDL:00564620 NKC:ph115238 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=数学分析&oldid=71959764」 分類：​數學分析隱藏分類：​含有缺少標題的引用的頁面引文格式1維護：冗餘文本使用ISBN魔術連結的頁面含有英語的條目包含BNE標識符的維基百科條目包含BNF標識符的維基百科條目包含GND標識符的維基百科條目包含LCCN標識符的維基百科條目包含NDL標識符的維基百科條目包含NKC標識符的維基百科條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansAlemannischAragonésالعربيةঅসমীয়াAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиभोजपुरीবাংলাBosanskiCatalàکوردیCorsuČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschZazakiΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisNordfriiskGaeilge贛語KriyòlgwiyannenGàidhligGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենInterlinguaBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語PatoisქართულიҚазақша한국어КыргызчаLatinaLëtzebuergeschLinguaFrancaNovaLigureLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuMaltiMirandésမြန်မာဘာသာNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپنجابیPortuguêsRomânăРусскийРусиньскыйSicilianuScotsSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaKiswahiliதமிழ்ไทยTürkmençeTagalogTürkçeXitsongaТатарча/tatarçaУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаVènetoTiếngViệtWinaray吴语ייִדישYorùbá文言粵語 編輯連結