中值定理- 维基百科，自由的百科全书

在數學分析中，均值定理（英語：Mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端 ... 均值定理 語言 監視 編輯 提示：此條目的主題不是介值定理。

在數學分析中，均值定理（英語：Meanvaluetheorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。

[註1] 均值定理 微分均值定理 羅爾均值定理 拉格朗日均值定理 柯西均值定理 積分均值定理 積分第一均值定理 積分第二均值定理 相關條目：微積分學 更仔細點講，假設函數 f {\displaystylef} 在閉區間 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 連續且在開區間 ( a , b ) {\displaystyle(a,b)} 可微，則存在一點 c , a < c < b {\displaystylec,\,a 0 {\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,dx>0}  ， m ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x ≤ M {\displaystylem\leq{\frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int_{a}^{b}g(x)\,dx}}\leqM}  。

因為 m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystylem\leqf(x)\leqM}  是連續函數，根據介值定理，則必存在一點 ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle\xi\in[a,b]}  ，使得 f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x {\displaystylef(\xi)={\frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int_{a}^{b}g(x)\,dx}}}  。

g ( x ) < 0 {\displaystyleg(x)<0}  的情況按同樣方法證明。

 積分第一均值定理推論的幾何意義 推論（拉格朗日均值定理的積分形式）編輯 在上式中令 g ( x ) = 1 {\displaystyleg(x)=1}  ，則可得出： 設 f : [ a , b ] → R {\displaystylef:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}}  為一連續函數，則∃ ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle\xi\in[a,b]}  ，使 f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a {\displaystylef(\xi)={\frac{\int_{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}  它也可以由拉格朗日均值定理推出： 設 F ( x ) {\displaystyleF(x)}  在 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]}  上可導， f ( x ) = F ′ ( x ) {\displaystylef(x)=F^{\prime}(x)}  ，則∃ ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle\xi\in[a,b]}  ，使 f ( ξ ) = F ′ ( ξ ) = F ( b ) − F ( a ) b − a = ∫ a b f ( x ) d x b − a {\displaystylef(\xi)=F^{\prime}(\xi)={\frac{F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac{\int_{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}   積分第二均值定理編輯 積分第二均值定理與積分第一均值定理相互獨立，卻又是更精細的積分均值定理。

它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

內容編輯 若f,g在[a,b]上黎曼可積且f(x)在[a,b]上單調，則存在[a,b]上的點ξ使 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) ∫ a ξ g ( x ) d x + f ( b ) ∫ ξ b g ( x ) d x {\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm{d}x=}f(a)\int\limits_{a}^{\xi}{g(x)\mathrm{d}x+}f(b)\int\limits_{\xi}^{b}{g(x)\mathrm{d}x}}  ；退化態的幾何意義編輯  第二積分均值定理退化形式的幾何意義 令g(x)=1，則原公式可化為： ∫ a b f ( x ) d x = f ( a ) ( ξ − a ) + f ( b ) ( b − ξ ) {\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)}  ；進而導出： ∫ a ξ f ( x ) d x − f ( a ) ( ξ − a ) = f ( b ) ( b − ξ ) − ∫ ξ b f ( x ) d x {\displaystyle\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}}  ；此時易得其幾何意義為： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[紅]+S[藍]=S[陰影]，即S[I]=S[II] 應用編輯 關於積分均值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。

注釋編輯 ^這個定理有兩種翻譯：均值定理跟中值定理，與數學分析中另一重要定理：intermediatevaluetheorem（翻譯成中間值定理或介值定理）容易混淆 參見編輯 羅爾定理 柯西均值定理 介值定理 極值定理 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=中值定理&oldid=71914715」