黎曼猜想- 维基百科，自由的百科全书 - Wikipedia

黎曼猜想[编辑] · 黎曼猜想（英语：Riemann hypothesis，RH）由德国 · 黎曼猜想是关于黎曼ζ函数 · 即所有的非平凡零点都应该位于直线 1 2 + t i {\displaystyle {\frac {1}{2}}+ ... 黎曼猜想 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索   此条目介绍的是数学中由波恩哈德·黎曼所提出的未解决之问题。

关于音乐和声理论中由胡戈·里曼所提出的和声分析理论，请见“里曼理论”。

千禧年大奖难题 P/NP问题 霍奇猜想 庞加莱猜想（已证明） 黎曼猜想 杨-米尔斯存在性与质量间隙 纳维-斯托克斯存在性与光滑性 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 查论编 黎曼猜想（英语：Riemannhypothesis，RH）由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。

它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题，有“猜想界皇冠”之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。

其猜想为： 黎曼ζ函数， ζ ( s ) = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle\zeta(s)={\frac{1}{1^{s}}}+{\frac{1}{2^{s}}}+{\frac{1}{3^{s}}}+{\frac{1}{4^{s}}}+\cdots} 。

非平凡零点（在此情况下是指 s {\displaystyles} 不为 − 2 {\displaystyle-2} 、 − 4 {\displaystyle-4} 、 − 6 ⋯ {\displaystyle-6\cdots} 等点的值）的实数部分是 1 2 {\displaystyle{\frac{1}{2}}} 。

未解决的数学问题：黎曼ζ函数的每个非平凡零点的实部是否同为 1 2 {\displaystyle{\frac{1}{2}}} ？ 黎曼猜想是关于黎曼ζ函数 ζ ( s ) {\displaystyle\zeta(s)} 的零点分布的猜想。

黎曼ζ函数在任何复数 s ≠ 1 {\displaystyles\neq1} 上有定义。

它在负偶数上也有零点（例如，当 s = − 2 , s = − 4 , s = − 6 , ⋯ {\displaystyles=-2,s=-4,s=-6,\cdots} ）。

这些零点是“平凡零点”。

黎曼猜想关心的是非平凡零点。

黎曼猜想提出： 黎曼ζ函数非平凡零点的实数部分是 1 2 {\displaystyle{\frac{1}{2}}} 即所有的非平凡零点都应该位于直线 1 2 + t i {\displaystyle{\frac{1}{2}}+t\mathbf{i}} （“临界线”）上。

t {\displaystylet} 为一实数，而 i {\displaystyle\mathbf{i}} 为虚数的基本单位。

沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。

它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。

素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。

素数在自然数中的分布并没有简单的规律。

黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。

1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理 π ( x ) = Li ⁡ ( x ) + O ( x ln ⁡ x ) {\displaystyle\pi\left(x\right)=\operatorname{Li}(x)+O\left({{\sqrt{x}}\lnx}\right)} 等价。

现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。

但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。

黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。

大部分数学家也相信黎曼猜想的正确性（约翰·恩瑟·李特尔伍德与阿特勒·塞尔伯格曾提出怀疑。

塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。

在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立）。

克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。

目录 1历史 2黎曼猜想与素数定理 3黎曼猜想之结果及其等价命题 3.1默比乌斯函数的增长率 3.2积性函数增长率 3.3里斯判准与二项式系数和 3.4韦伊判准、李判准 3.5与法里数列的关系 3.6跟群论的关系 3.7临界线定理 4已否证的猜想 5相对弱的猜想 5.1林德勒夫猜想 5.2大素数间隙猜想 6证明黎曼猜想的尝试 6.1黎曼猜想证明的可能的着手方向 6.2与算子理论的可能联系 7搜寻ζ函数的零点 8参考文献 8.1引用 8.2来源 9相关 历史[编辑] 黎曼ζ函数在临界线 Re ( s ) = 1 2 {\displaystyle{\text{Re}}(s)={\frac{1}{2}}} 上的实部（红色）和虚部（蓝色）。

我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于 Im ( s ) = ± 14.135 , ± 21.022 {\displaystyle{\text{Im}}(s)=\pm14.135,\pm21.022} 和 ± 25.011 {\displaystyle\pm25.011} 上。

黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图，也就是 Re ( ζ ( s ) ) {\displaystyle{\text{Re}}(\zeta(s))} vs. Im ( ζ ( s ) ) {\displaystyle{\text{Im}}(\zeta(s))} ，沿着临界线 s = t i + 1 2 {\displaystyles=t\mathbf{i}+{\frac{1}{2}}} ， t {\displaystylet} 由0到34 黎曼1859年在他的论文《ÜberdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGröße》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。

黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线 s = 1 2 + i t {\displaystyles={\frac{1}{2}}+\mathbf{i}t} 上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 {\displaystyle0\leq{\text{Re}}(s)\leq1} 中。

1896年，雅克·阿达马和CharlesJeandelaVallée-Poussin分别独立地证明了在直线 Re ( s ) = 1 {\displaystyle{\text{Re}}(s)=1} 上没有零点。

连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域 0 < Re ( s ) < 1 {\displaystyle0 0 {\displaystyle\varepsilon>0} ，我们有 | π ( x ) − ∫ 0 x d t ln ⁡ ( t ) | = O ( x 1 / 2 + ε ) , {\displaystyle\left|\pi(x)-\int_{0}^{x}{\frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}}\right|=O(x^{1/2+\varepsilon}),} 式中 π ( x ) {\displaystyle\pi(x)} 为素数计数函数， ln ⁡ ( x ) {\displaystyle\ln(x)} 为 x {\displaystylex} 的自然对数，以及右手边用上了大O符号[2]。

一个由LowellSchoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于： | π ( x ) − ∫ 0 x d t ln ⁡ ( t ) | < 1 8 π x ln ⁡ ( x ) , forall  x ≥ 2657 {\displaystyle\left|\pi(x)-\int_{0}^{x}{\frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}}\right| 0 {\displaystyle\varepsilon>0} 都有 M ( x ) = O ( x 1 / 2 + ε ) {\displaystyleM(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})} ， 这将会对于 M {\displaystyleM} 的增长给出了一个更紧的限制，因为即使没有黎曼猜想我们也能得出 M ( x ) ≠ o ( x 1 2 ) {\displaystyleM(x)\neqo(x^{\frac{1}{2}})} （关于这些符号的意思，见大O符号。

） 积性函数增长率[编辑] 黎曼猜想等价于一些除 μ ( n ) {\displaystyle\mu(n)} 以外一些积性函数增长率的猜想。

例如，约数函数 σ ( n ) {\displaystyle\sigma(n)} 由下式给出： σ ( n ) = ∑ d ∣ n d {\displaystyle\sigma(n)=\sum_{d\midn}d} 那在 n > 5040 {\displaystylen>5040} 的时候， σ ( n ) < e γ n ln ⁡ ln ⁡ n {\displaystyle\sigma(n) 0 {\displaystyle\epsilon>0} 成立 − ∑ k = 1 ∞ ( − x ) k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = O ( x 1 / 4 + ϵ ) {\displaystyle-\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-x)^{k}}{(k-1)!\,\zeta(2k)}}=O\left(x^{1/4+\epsilon}\right)} 哈代稍后于1918年以波莱尔求和法及梅林变换证明了下式的积分表法。

− ∑ k = 1 ∞ ( − x ) k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = f ( x ) {\displaystyle-\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-x)^{k}}{(k-1)!\,\zeta(2k)}}=f(x)} 其它相关的积性函数的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述。

考虑二项式系数和 c k = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j ( k j ) 1 ζ ( 2 j + 2 ) {\displaystylec_{k}=\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}{k\choosej}{\frac{1}{\zeta(2j+2)}}} ， Báez-Duarte[4][5]与Flajolet、BrigitteVallée[6]证明了黎曼猜想等价于对所有的 ϵ > 0 {\displaystyle\epsilon>0} 下式成立 c k ≪ k − 3 / 4 + ϵ {\displaystylec_{k}\llk^{-3/4+\epsilon}} 。

类似的还有以下级数 d k = ∑ j = 2 k ( − 1 ) j ( k j ) 1 ζ ( j ) {\displaystyled_{k}=\sum_{j=2}^{k}(-1)^{j}{k\choosej}{\frac{1}{\zeta(j)}}} 。

对此。

Flajolet与Vepstas[7]证明了黎曼猜想等价于对所有的 ϵ > 0 {\displaystyle\epsilon>0} 下式成立 | d n | < C ϵ n 1 / 2 + ϵ {\displaystyle|d_{n}| 1 2 {\displaystylee>{\frac{1}{2}}} ∑ i = 1 m | F n ( i ) − i / m | = O ( n e ) {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}|F_{n}(i)-i/m|=O(n^{e})} ”等价于黎曼猜想。

在这里 m = ∑ i = 1 n ϕ ( i ) {\displaystylem=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)} 是法里数列中 n {\displaystylen} 阶项的数目。

类似地等价于黎曼猜想的命题是“给出任何 e > − 1 {\displaystylee>-1} . ∑ i = 1 m ( F n ( i ) − i / m ) 2 = O ( n e ) {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}(F_{n}(i)-i/m)^{2}=O(n^{e})} ” 跟群论的关系[编辑] 黎曼猜想等价于群论中的一些猜想。

举例说， g ( n ) {\displaystyleg(n)} ，是对称群 S n {\displaystyleS_{n}} 的所有元素的秩之中，最大的一个，也就是兰道函数，则黎曼猜想等价于：对够大的 n {\displaystylen} ，下式成立： ln ⁡ g ( n ) < Li − 1 ⁡ ( n ) {\displaystyle\lng(n) 1 {\displaystyle{\text{Re}}\left(s\right)>1} 时没有零点，则黎曼猜想成立，但HughMontgomery证明了这前提并不成立。

另一个更强的默滕斯猜想也同样被否证。

相对弱的猜想[编辑] 林德勒夫猜想[编辑] 黎曼猜想有各种比较弱的结果；其中一个是由芬兰数学家恩斯特·列奥纳德·林德勒夫（ErnstLeonardLindelöf）所提出，关于ζ函数于临界线上的增长速度的猜想，表明了给出任意的 e > 0 {\displaystylee>0} ，当 t {\displaystylet} 趋向无限， ζ ( 1 2 + i t ) = O ( t e ) {\displaystyle\zeta\left({\frac{1}{2}}+it\right)=O(t^{e})} 。

记第 n {\displaystylen} 个素数为 p n {\displaystylep_{n}} ，一个由英国数学家阿尔伯特·英厄姆(AlbertIngham)得出的结果显示，林德勒夫猜想将推导出“给出任意 e > 0 {\displaystylee>0} ，对足够大的 n {\displaystylen} 有 p n + 1 − p n < p n 1 2 + e {\displaystylep_{n+1}-p_{n}