全純函數- 維基百科，自由的百科全書

全純函數（英語：Holomorphic function）是複分析研究的中心物件；它們是定義在複數平面 C ... 特別地，若函數在整個複數平面全純，我們稱這個函數為整函數。

全純函數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 數學分析→複分析複分析 複數 實數 虛數 複數平面 共軛複數 單位複數 複函數 複值函數 解析函數 全純函數 柯西-黎曼方程式 形式冪級數 基本理論 零點與極點 柯西積分定理 局部原函數 柯西積分公式 卷繞數 洛朗級數 孤立奇異點 留數定理 共形映射 施瓦茨引理 調和函數 拉普拉斯方程式 人物 奧古斯丁-路易·柯西 萊昂哈德·歐拉 卡爾·弗里德里希·高斯 雅克·阿達馬 岡潔 波恩哈德·黎曼 卡爾·魏爾斯特拉斯 閱論編 直角坐標網（上）經一全純函數f共形映射後的結果（下） 全純函數（英語：Holomorphicfunction）是複分析研究的中心物件；它們是定義在複數平面 C {\displaystyle\mathbb{C}} 的開子集上的，在複數平面 C {\displaystyle\mathbb{C}} 中取值的，在每點上皆複可微的函數。

[註1][註2]全純函數有時稱為正則函數。

在整個複數平面上都全純的函數稱為整函數。

在一點 a {\displaystylea} 全純，不僅表意味著 a {\displaystylea} 可微，而且表示在某個中心為 a {\displaystylea} 的複數平面上的開鄰域上可微。

[註3] 目次 1定義 2範例 2.1有理函數 2.2由冪級數定義的函數 2.3複對數 2.4冪函數 3性質 4幾個變數 5擴展到泛函分析 6注釋 7參看 定義[編輯] 若 U {\textstyleU} 為 C {\textstyle\mathbb{C}} 的開子集，且 f : U → C {\displaystylef:U\rightarrow\mathbb{C}} 為一個函數。

我們稱 f {\displaystylef} 是在 U {\textstyleU} 中一點 z 0 {\textstylez_{0}} 是複可微的（complexdifferentiable）或全純的，若且唯若該極限存在： f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 {\displaystylef'(z_{0})=\lim_{z\rightarrowz_{0}}{f(z)-f(z_{0})\overz-z_{0}}} 若 f {\displaystylef} 在 U {\textstyleU} 上任取一點均全純，則稱 f {\displaystylef} 在 U {\textstyleU} 上全純。

特別地，若函數在整個複數平面全純，我們稱這個函數為整函數。

其中，極限取所有趨向 z 0 {\textstylez_{0}} 的複數列，並對所有這種序列差的商趨向同一個數 f ′ ( z 0 ) {\textstylef'(z_{0})} ，另外，這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質：它是線性的，並服從乘積，商和連鎖律。

下面是一個等價的定義：一個複函數全純若且唯若它滿足柯西-黎曼方程式。

範例[編輯] 有理函數[編輯] 所有的複系數多項式函數為整函數 所有複系數的有理函數，在除去極點以外的區域均為全純。

例如，函數 f : z ↦ 1 z {\displaystylef:z\mapsto{\frac{1}{z}}} 在 C ∗ {\displaystyle\mathbb{C^{*}}} 上為全純函數。

由冪級數定義的函數[編輯] 若 Σ n ≥ 0 a n z n {\displaystyle\Sigma_{n\geq0}a_{n}z^{n}} 複系數冪級數，且收斂半徑不為零，我們記 D {\displaystyleD} 為其收斂區域。

函數 f : D → C z ↦ Σ n ≥ 0 a n z n {\displaystyle{\begin{aligned}f:D&\rightarrow\mathbb{C}\\z&\mapsto\Sigma_{n\geq0}a_{n}z^{n}\\\end{aligned}}} 為全純函數，且任取 z ∈ D , f ′ ( z ) = Σ n ≥ 1 n a n z n − 1 {\displaystylez\inD,f'(z)=\Sigma_{n\geq1}{na_{n}z^{n-1}}} .事實上，這個函數在 D {\displaystyleD} 上無窮可導。

指數函數為整函數，同樣地，三角函數[註4]與雙曲函數同樣為整函數。

複對數[編輯] 若在一個連通集上的函數 L : U → C {\displaystyleL:U\rightarrow\mathbb{C}} 滿足條件： ∀ z ∈ D , exp ⁡ ( L ( z ) ) = z {\displaystyle\forallz\inD,\exp(L(z))=z} ，則稱其為一個複對數函數。

另有一等價定義，即若全純函數 L {\displaystyleL} 在 U {\displaystyleU} 上以 z ↦ 1 / z {\displaystylez\mapsto1/z} 為導數，且存在一點 z 0 {\displaystylez_{0}} ，使得這一點 exp ⁡ ( L ( z 0 ) ) = z 0 {\displaystyle\exp(L(z_{0}))=z_{0}} ，則稱其為一個複對數函數。

在 C ∗ {\displaystyle\mathbb{C^{*}}} 的任意開子集 U {\displaystyleU} 上，若有一個複對數 L {\displaystyleL} ，那麼任取整數 k {\displaystylek} ，函數 z ↦ L ( z ) + 2 k π i {\displaystylez\mapstoL(z)+2k\pii} 也為 U {\displaystyleU} 上的複對數函數。

冪函數[編輯] 在 C ∗ {\displaystyle\mathbb{C^{*}}} 的任意開子集 U {\displaystyleU} 上，若有一個複對數 L {\displaystyleL} ，那麼任取複數 a {\displaystylea} ，在 U {\displaystyleU} 上 a {\displaystylea} 階冪函數可以定義為 ∀ z ∈ U , z a = exp ⁡ ( a L ( z ) ) {\displaystyle\forallz\inU,z^{a}=\exp(aL(z))} 特別地，任取整數 n > 0 {\displaystylen>0} ，有 z 1 / n = exp ⁡ ( ( 1 / n ) L ( z ) ) {\displaystylez^{1/n}=\exp((1/n)L(z))} ，滿足 ∀ z ∈ U , ( z 1 / n ) n = z {\displaystyle\forallz\inU,(z^{1/n})^{n}=z} ，我們稱此表達式為 U {\displaystyleU} 上 n {\displaystylen} 階冪的定義式。

另外，記 z n := z 1 / n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{z}}:=z^{1/n}} [註5]。

性質[編輯] 因為複微分是線性的，並且服從積、商、連鎖律，所以全純函數的和、積及複合是全純的，而兩個全純函數的商在所有分母非0的地方全純。

每個全純函數在每一點無窮可微。

它和它自己的泰勒級數相等，而泰勒級數在每個完全位於定義域 U {\displaystyleU} 內的開圓盤上收斂。

泰勒級數也可能在一個更大的圓盤上收斂；例如，對數的泰勒級數在每個不包含0的圓盤上收斂，甚至在複實數軸的附近也是如此。

若把 C {\displaystyle\mathbb{C}} 和 R 2 {\displaystyle\mathbb{R^{2}}} 等同起來，則全純函數和滿足柯西-黎曼方程式的雙實變數函數相同，該方程組含有兩個偏微分方程式。

在非0導數的點的附近，全純函數是共形的[註6]。

因為他們保持了小圖形的角度和形狀[註7]。

柯西積分公式表明每個全純函數在圓盤內的值由它在盤邊界上的取值所完全決定。

幾個變數[編輯] 多複變函數的複解析函數定義為在一點全純和解析，如果它局部可以[註8]擴張為收斂的各個變數的冪級數。

這個條件比柯西-黎曼方程式要強；事實上它可以這樣表述為一個多複變數函數是全純的若且唯若它滿足柯西-黎曼方程式並且局部平方可積。

擴展到泛函分析[編輯] 全純函數的概念可以擴展到泛函分析中的無窮維空間。

Fréchet導數條目介紹了巴拿赫空間上的全純函數的概念。

注釋[編輯] ^這是比實可微強得多的條件，暗示著此函數無窮可微並可以用泰勒級數來描述。

^解析函數（analyticfunction）一詞經常可以和「全純函數」互相交換使用，雖然前者有幾個其他含義。

^雙全純（biholomorphic）表示一個有全純逆函數的全純函數。

^可通過指數函數使用歐拉公式定義 ^若對於正實數，這種定義方式可能與其通常含義存在衝突 ^或稱保角的 ^但尺寸可能改變 ^在一個多盤，也即中心在該點的圓盤的直積 參看[編輯] 亞純函數 整函數 反全純函數（英語：Antiholomorphicfunction） 規範控制 BNF:cb119819963(data) FAST:958953 GND:4025645-5 LCCN:sh85061536 NDL:00570426 NKC:ph321880 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=全纯函数&oldid=70527806」 分類：​複分析函數隱藏分類：​含有英語的條目包含BNF標識符的維基百科條目包含FAST標識符的維基百科條目包含GND標識符的維基百科條目包含LCCN標識符的維基百科條目包含NDL標識符的維基百科條目包含NKC標識符的維基百科條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAsturianuБашҡортсаБългарскиCatalàČeštinaDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתहिन्दीMagyarItaliano日本語ქართული한국어LombardLietuviųNederlandsNorsknynorskOccitanPolskiPortuguêsRomânăРусскийSicilianuSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்TürkçeУкраїнськаTiếngViệt粵語 編輯連結