平均值定理

的斜率，故你在t0 時刻超速。

這位警察懂得微積分，上述的論証用到了平均值定理：. 平均值定理: 假設. 1. f 在閉區間[a,b] 上連續，; 2. f 在開區間(a,b) 上可微分。

  平均值定理 MeanValueTheorem   首頁|搜尋   有一部車子，全電腦裝置，有里程儀(Odometer)與速率儀(speedometer)，而且都是用坐標圖形來表達。

假設速率儀故障，只剩里程儀。

交通警察攔下這部車子，說是超速，駕駛辯稱：我沒有超速，若有的話，請警察先生拿出証據。

警察說：由你的里程儀的圖形知道的斜率大於限速， 並且t0時刻的切線斜率（即車子的速率）等於的斜率，故你在t0時刻超速。

這位警察懂得微積分，上述的論証用到了平均值定理： 平均值定理: 假設 1.f在閉區間[a,b]上連續， 2.f在開區間(a,b)上可微分。

則存在使得 它的特例是Rolle定理，但是我們可以利用Rolle定理來証明平均值定理，因此，兩者等價。

Rolle定理: 假設 1.f在閉區間[a,b]上連續， 2.f在開區間(a,b)上可微分， 3.f(a)=0=f(b)。

則存在，使得 當初Rolle觀察到，若多項式方程式f(x)=0有a,b兩根，即f(a)=0=f(b)， 則方程式f'(x)=0在(a,b)之中至少存在有一根ξ，即。

這是Rolle定理的起源。

平均值定理有三個方向之推廣： 泰勒定理: 設f在 上是直到n+1階連續可微分的函數，且 ， 則對任何 ，f(x)可以展成下式 其中ξ為介於x與a之間的一個數。

註：泰勒定理是對一類相當好的函數作剖析，所得到的函數的結構定理。

Cauchy的平均值定理: 假設 (i)f與g在[a,b]上連續， (ii)f與g在(a,b)上可微分， (iii) 。

則存在使得 註：Cauchy的平均值定理是L'Hospital規則的理論基礎。

推廣的平均值定理: 設f,g,h在[a,b]上連續，在(a,b)上可微分，則存在使得行列式 註： (i)當時，這個定理就化約為Cauchy的平均值定理。

(ii)當且g(x)=x時，這個定理就化約為平均值定理。

所謂Newton-Leibniz公式是指： 假設F在[a,b]上一階連續可微分，則 我們可以証明平均值定理與Newton-Leibniz公式等價。

証明: 平均值定理Newton-Leibniz公式， 設 是[a,b]的一個分割。

由平均值定理知，黎曼和 取極限就得到Newton-Leibniz公式。

反過來，Newton-Leibniz公式平均值定理： 由積分的平均值定理知，存在使得 再配合Newton-Leibniz公式，立得平均值定理 由上述看來，平均值定理在微積分中佔有核心的地位。

平均值定理還有一層意義：將涉及無窮步驟的極限 用有限的牛頓商 來取代，具有以簡御繁的意味，但付出一點代價：我們對ξ的位置不太清楚。

  對外搜尋關鍵字：．Cauchy．L'Hospital規則   （撰稿：蔡聰明∕台大數學系） 相關網頁： 數學條目：微積分基本定理 數學條目：冪級數（含泰勒級數）   留言（若有指正、疑問……可利用這裡留言）   EpisteMath(c)2000中央研究院數學所、台大數學系 各網頁文章內容之著作權為原著作人所有 編輯：李渭天 最後修改日期：8/30/2001