极值定理- 维基百科，自由的百科全书

在微积分中，极值定理说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。

也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得：. 极值定理 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 闭区间[a,b]上的连续函数ƒ(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。

在微积分中，极值定理说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。

也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得： f ( c ) ≥ f ( x ) ≥ f ( d ) {\displaystylef(c)\geqf(x)\geqf(d)} 对于所有 x ∈ [ a , b ] {\displaystylex\in[a,b]} 。

一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。

也就是说，存在实数m和M，使得： m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystylem\leqf(x)\leqM} 对于所有 x ∈ [ a , b ] {\displaystylex\in[a,b]} 。

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

目录 1定理的证明 1.1有界性定理的证明 1.2极值定理的证明 2例子 3推广到半连续函数 4参考文献 5外部链接 定理的证明[编辑] 我们来证明f的上界和最大值的存在。

把这个结果应用于函数–f，也可推出f的下界和最小值的存在。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

证明极值定理的基本步骤为： 证明有界性定理。

寻找一个序列，它的像收敛于f的最小上界。

证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。

用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

有界性定理的证明[编辑] 假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界。

那么，根据实数的阿基米德公理，对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个xn，使得f(xn)>n。

这便定义了一个序列{xn}。

由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{ x n k {\displaystylex_{n_{k}}} }。

把它的极限记为x。

由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。

因为f在x处连续，我们知道{f( x n k {\displaystylex_{n_{k}}} )}收敛于实数f(x)。

但对于所有的k，都有f( x n k {\displaystylex_{n_{k}}} )>nk≥k，这意味着{f( x n k {\displaystylex_{n_{k}}} )}发散于无穷大。

得出矛盾。

因此，f在[a,b]内有上界。

证毕。

极值定理的证明[编辑] 我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值。

根据有界性定理，f有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f的最小上界M存在。

我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M=f(d)。

设n为一个自然数。

由于M是最小上界，M–1/n就不是f的上界。

因此，存在[a,b]内的dn，使得M–1/n