零點 存在 定理求極值零點定理均值定理勘 根 定理 英文Extreme value Theoremwww.math.ncu.edu.tw › medcalym99 › boards › lec8_medcalym_99單元8: 連續函數的定理介值定理- 維基百科，自由的百科全書
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提示：此條目的主題不是中值定理。
... 在數學分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：.
介值定理
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歷史名作
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分支學科
實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動力系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最優化 ·非標準分析
閱論編
在數學分析中，介值定理（英語：intermediatevaluetheorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：
假設有一連續函數
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystylef:[a,b]\mapsto\mathbb{R}}
，且假設
f
(
a
)
<
f
(
b
)
{\displaystylef(a)
直觀地比喻，這代表在
[
a
,
b
]
{\displaystyle[a,b]}
區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。
介值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。
目次
1定理
2證明
3與實數完備性的關係
4零點定理（波爾查諾定理）
5現實世界中的意義
6參見
7參考資料
8外部連結
定理[編輯]
介值定理圖解
假設
I
=
[
a
,
b
]
{\displaystyleI=[a,b]}
是一個實數裡的閉區間，而
f
:
I
→
R
{\displaystylef\colonI\rightarrow\mathbb{R}}
是連續函數，那麼其像集
f
(
I
)
{\displaystylef(I)}
也是區間。
它或者包含
[
f
(
a
)
,
f
(
b
)
]
{\displaystyle[f(a),f(b)]}
（如果
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
{\displaystylef(a)\leqf(b)}
），或者包含
[
f
(
b
)
,
f
(
a
)
]
{\displaystyle[f(b),f(a)]}
（如果
f
(
b
)
≤
f
(
a
)
{\displaystylef(b)\leqf(a)}
）。
換言之：
f
(
I
)
⊇
[
f
(
a
)
,
f
(
b
)
]
{\displaystyle\displaystylef(I)\supseteq[f(a),f(b)]}
,
或
f
(
I
)
⊇
[
f
(
b
)
,
f
(
a
)
]
{\displaystyle\displaystylef(I)\supseteq[f(b),f(a)]}
.
介值定理通常以下述等價的形式表述：假設
f
:
I
→
R
{\displaystylef\colonI\rightarrow\mathbb{R}}
是連續函數，且實數
u
{\displaystyleu}
滿足
f
(
a
)
<
u
<
f
(
b
)
{\displaystylef(a)
u
>
f
(
b
)
{\displaystylef(a)>u>f(b)}
，則存在
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystylec\in(a,b)}
使得
f
(
c
)
=
u
{\displaystylef(c)=u}
。
證明[編輯]
先證明第一種情況
f
(
a
)
<
u
<
f
(
b
)
{\displaystylef(a)
u
{\displaystylef(c)>u}
。
那麼
f
(
c
)
−
u
>
0
{\displaystylef(c)-u>0}
，因此存在
δ
>
0
{\displaystyle\delta>0}
，使得當
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle\left|x-c\right|
f
(
c
)
−
(
f
(
c
)
−
u
)
=
u
{\displaystylef(x)>f(c)-(f(c)-u)=u}
（也就是說，對於
(
c
−
δ
,
c
+
δ
)
{\displaystyle(c-\delta,c+\delta)}
內的
x
{\displaystylex}
，都有
f
(
x
)
>
u
{\displaystylef(x)>u}
）。
因為
c
=
s
u
p
{\displaystylec=\mathrm{sup}}
S
{\displaystyleS}
,因此存在
x
′
∈
(
c
−
δ
,
c
]
{\displaystylex'\in(c-\delta,c]}
，使得
f
(
x
′
)
⩽
u
{\displaystylef(x')\leqslantu}
,所以我們有：
f
(
x
′
)
>
u
{\displaystylef(x')>u}
並且
f
(
x
′
)
⩽
u
{\displaystylef(x')\leqslantu}
,這顯然是矛盾的。
假設
f
(
c
)
<
u
{\displaystylef(c)
0
{\displaystyle\delta>0}
，使得當
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle\left|x-c\right|
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