保守力和非保守力 - 科學Online
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保守力:重力、彈簧力、靜電力 非保守力:摩擦力、阻力(空氣.水)、推力、拉力. 再來看第二點。
國中時候的你一定有學過力學能守恆。
先釐清它跟能量守恆 ...
Wednesday6thApril2022
6-Apr-2022
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保守力和非保守力
高雄市中正高工物理科代理教師、現任聯華電子工程師蘇益弘
本文將循序漸進,從國中、高中、大學的角度說明保守力和非保守力,重點以紅字與粗體先行標示,緊接著的後文則進一步說明。
以下是本文大綱:
通俗的說法,以國中的角度來看保守力和非保守力
嚴謹的說法,以高中來說,我們要知道的保守力和非保守力的定義
數學的說法,以大學來說,你會以數學(微積分)的角度重新了解保守力
國中角度來看保守力和非保守力
保守力:作功可以轉換成位能儲存,
非保守力:沒有位能的概念,自然也談不上位能的儲存。
物體只受保守力,力學能守恆。
物體受到非保守力,力學能通常會損耗。
先講第一點。
我自己在國中理解的位能是這樣的,速度很快被撞超級痛,這代表物體有能量(動能)。
但有時候物體明明是靜止的,但當它被釋放(例如:石頭從高處落下、彈簧被鬆開),它的速度也可以很快。
這代表有種能量(位能)是被存在靜止的物體的,物體抬得越高能量被存進去更多(重力位能)、彈簧被壓得越緊能量被存越多(彈力位能)。
而高處落下或彈簧鬆開,存起來的能量就會被釋放出來,變成速度(位能轉成動能)。
所以,保守力指的是對物體作功後可以轉換成位能儲存的力。
前一段講的,物體越高能量越高(重力位能\(U=mgh\)),隱含了重力是保守力這個概念。
彈簧越緊能量越高(彈力位能\(U=\frac{1}{2}kx^2\)),彈簧力也是保守力。
而相反的,如摩擦力就無法討論對應的位能,因為這個力做了功之後化成熱能,結果我們無法把此能量取回來、重新做功。
因此,摩擦力非保守力。
你平常在推東西的力,也不是透過體內儲存的某種位能之改變而造成,所以它也是非保守力。
下面整理高中常見保守力的實例:
保守力:重力、彈簧力、靜電力
非保守力:摩擦力、阻力(空氣.水)、推力、拉力
再來看第二點。
國中時候的你一定有學過力學能守恆。
先釐清它跟能量守恆有什麼不一樣?讓我們複習下,力學能=動能(K)+位能(U)。
所以它指的是單純力學運動中會碰到的能量,我們不考慮電能.熱能.化學能…等,那是能量守恆要去想的事。
所以力學能要守恆,代表動能+位能要固定,代表受力過程中動能位能要能互相轉換。
代表受力做功要能儲存成位能,也就是受到的力是保守力。
舉個例,像重力。
想像小球從高處落下時,高度越低(位能下降)、速度越快(動能上升),這是位能轉動能,力學能守恆。
或者往天空用力丟小球,高度越高(位能上升)、速度越慢(動能下降),這是動能轉位能,力學能同樣守恆。
而如果受的是非保守力,那只會損耗力學能而不會守恆。
像摩擦力,一個小球在地面滾動,速度越變越慢,但高度不變,只會有熱散失到空氣中(動能轉熱能)。
下面我們看個你一定很熟悉的題目:有一個靜止小球10kg在10m高的台階上,當受到重力順著斜坡(光滑無摩擦)滑下來,到達地面時速率多少?(圖一)
\(K_{\text{初}}+U_{\text{初}}=K_{\text{末}}+U_{\text{末}}\)
\(K_{\text{初}}=0\)(靜止)
\(U_{\text{初}}=mgh=10\times9.8\times10=980\)
\(K_{\text{末}}=\frac{1}{2}mV^2=\frac{1}{2}\times10\timesV^2=5V^2\)
\(U_{\text{末}}=0~~(h=0)\)
代入第一式
\(0+980=5V^2+0\)
\(V=14~(m/s)\)
簡單吧,是不是很熟悉的用\(K_{\text{初}}+U_{\text{初}}=K_{\text{末}}+U_{\text{末}}\),然後答案解出,輕鬆得分。
這裡用的觀念就是力學能守恆,但它有兩個前提,受到重力跟光滑無摩擦。
力學能守恆的前提就是:你受到的力要是保守力才會力學能守恆,如果是非保守力則否。
所以整個過程只受重力(保守力),而沒有非保守力(摩擦力),所以可以用力學能守恆。
如果題目說斜坡是粗糙有摩擦,則非保守力(摩擦力)會造成力學能損耗,就不能用\(K_{\text{初}}+U_{\text{初}}=K_{\text{末}}+U_{\text{末}}\)去算,必須另外計算摩擦力做功造成多少損耗。
下面補充箱子受力圖,與各力的作功。
到這邊再重新歸納一次。
保守力:有位能,力學能守恆,重力,彈簧力都是。
非保守力:沒有位能,力學能通常會損耗,推力、摩擦力、阻力都是。
這些是比較通俗的講法,下面我們講講較嚴謹的定義。
高中須知道保守力的定義
一個力對物體作功,經過一段路徑,從A點到B點。
如果作功大小與經過路徑無關的是保守力,有關的是非保守力。
一個物體從A點出發,經任一路徑又回到原點A,我們稱此為封閉路徑。
如果力對物體作功,經任一封閉路徑後,總作功恆為0,則此力為保守力。
上面這兩點在數學上是等價的,講的是同一個定義,我們在這邊節省篇幅,著重在講解第一點。
圖三
什麼叫作功與路徑無關?請看圖三,物體從A點到B點有三個路徑1、2、3,如果對物體施力走這三條的做功都相同,代表作功與路徑無關,這種力就是保守力。
反之則為非保守力。
下面讓我們分別以重力(保守力)、摩擦力(非保守力)做例子,用簡單的題目和數字來算算看,什麼叫與路徑無關。
重力(保守力):
題目:今天有一個箱子重量\(mg\),小明把它抬高\(d\)公尺。
小華無聊又白目,所以他抬高箱子\(d\)公尺後又把它放到地上,再抬一次。
請問這兩種過程中,重力對箱子的作功各是多少?
解答:
小明的重力作功:
經路徑1做負功\(W_1=-mg\timesd\)
總作功\(W_{\text{明}}=W_1=-mgd\)
小華的重力作功:
經路徑1做負功\(W_1=-mg\timesd\)
經路徑2做正功\(W_2=mg\timesd\)
經路徑3做負功\(W_3=-mg\timesd\)
總作功\(W_{\text{華}}=W_1+W_2+W_3=-mgd\)
先講一點,在這裡箱子往上抬的過程(位移1、3),因為重力往下位移往上,方向相反,所以作的是負功(\(W_1\)、\(W_3\))。
那注意到裡面的運算嗎?雖然小華比小明多抬了一下,但因為重力一直是向下的,所以箱子被放下時重力作正功\(W_2\),抬起時作負功\(W_3\),放下和抬起的作功剛好抵銷。
即使小華今天想勤練肌肉,把箱子抬上抬下N次,總重力作功(\(W_{\text{華}}\))一樣是\(-mgd\),箱子本身的高度就只會上升\(d\),不會有更多位能。
只要箱子是從A點移到B點,不管過程中箱子被抬多少下,重力作功都相同,與過程路徑無關,所以重力是一種保守力。
摩擦力(非保守力):
題目:同樣的明、華二人組。
今天小明把開學裝書的箱子從樓梯口推到A教室門口(與樓梯口相距\(d\)公尺)。
情竇初開的小明,偏偏要把箱子推到隔壁教室B(與教室A相距\(d\)公尺),看一眼最愛的阿花,再把箱子推回A教室門口。
請問這兩種過程中,摩擦力\((f_k)\)對箱子的作功各是多少?
小明的摩擦力作功:
經路徑1做負功\(W_1=-f_k\timesd\)
總作功\(W_{\text{明}}=W_1=-f_kd\)
小華的摩擦力作功:
經路徑1做負功\(W_1=-f_k\timesd\)
經路徑2做負功\(W_2=-f_k\timesd\)
經路徑3做負功\(W_3=-f_k\timesd\)
總作功\(W_{\text{華}}=W_1+W_2+W_3=-3f_kd\)
同樣提醒一點,在這裡摩擦力和位移都是反方向,不管位移1、2、3,摩擦力都作負功\(W_1\)、\(W_2\)、\(W_3\)。
從運算裡可以看到,因為摩擦力一直作負功,所以小華推去B教室又推回A教室的途中\((W_2+W_3)\),摩擦力作的功不會像重力一樣抵銷,而是產生更多的負功。
小華只要夠無聊,他每多推一次摩擦力就會多作\(-2f_kd\),這部分能量會轉變成熱能散失在周遭。
結論:同樣是箱子從樓梯口到教室A,但只要繞的路徑越長,摩擦力作功就越多。
摩擦力做功與過程路徑有關,所以摩擦力是非保守力。
那在最後,我們把定義換個說法來複習一下。
保守力做功大小只和移動的初位置和末位置(位移)有關與移動路徑無關,而非保守力做功大小則要考慮物體走的是哪條移動路徑。
到這邊我們已經了解高中保守力需要知道的東西了,但我們只要上網路一查,常會查到一些不熟悉的數學符號,這部分是在大學學會微積分後,我們就可以用數學(微積分)去把保守力作定義。
下面我們不談數學,只簡單講講這些數學在表示什麼物理意義。
數學上保守力\((F)\)的定義
\(F\)的旋度是0:\(\triangledown\timesF=0\)
物體受力做功,經一封閉路徑後,總做功為\(0\):\(W=\oint_{\mathbb{C}}F\cdot\mathrm{d}r=0\)
\(F\)是某個(位能)的梯度:\(F=-\triangledown\Phi\)
第一點,\(F\)的旋度是\(0\),旋度這東西很特別,它指的意思就是這個物理量\((F)\)他會圍繞著一個點旋轉(通俗的說法)。
舉個熟悉的例子,我們國中有學安培右手定則:一個通電流的導線,它周遭會有同心圓旋轉的磁場。
所以對於這根導線來說,磁場是圍繞著它旋轉,這個磁場就有旋度(相對於導線)。
如果世界上有一種力的分佈就像上述磁場一樣,則此力就不可能是保守力,因為沿圓周繞一圈回到原點後,此力會做淨功。
這與前面提到的定義\(2\),封閉路徑作功為\(0\)不符。
做因此,保守力的條件就是旋度為零。
第二點,這應該很熟悉吧。
沒錯,它就是高中我們學到的定義\(2\),只是用數學形式表示。
第三點,這其實剛剛也提到,它是國中說法裡面的第一點,只要是保守力就會有對應的位能,\(\Phi\)代表的就是位能。
這個式子只是換句話說,你一定找得到一個位能\(\Phi\),他的梯度能對應到保守力\((F)\)。
特別提一下這裡的負號,我們高中會學到重力位能差的定義:重力位能差等於負的重力做功。
這邊的負號代表的就是位能差定義裡提到的負的。
以下補充解釋下梯度,梯度是描述物理量\((\Phi)\)的陡峭(變化)程度。
這個式子說的是,今天你有一個位能\(\Phi\)(假設是重力位能),那位能的梯度基本上就是物體所受到的力(亦即,算重力位能的梯度就可得到重力)。
倒過來想更好理解,今天你抬物體上升一固定高度\(h\),那物體的重力位能一定是變大了。
既然高處的位能\(\Phi_{\text{高處}}\)大於低處的位能\(\Phi_{\text{低處}}\),\(\Phi\)顯然是有一個梯度 \(=\Phi_{\text{高處}}-\Phi_{\text{低處}}\)。
由於 \(\Phi_{\text{高處}}-\Phi_{\text{低處}}\)就等於你以力量\(F\)(恰等於重力)去抬高物體所做的功\(F\cdoth\),因此的\(\Phi\)梯度就是\(F\)。
參考資料:
Wiki:http://zh.wikipedia.org/wiki/保守力
互動百科:http://www.baike.com/wiki/保守力
Tags:位能,保守力,力學能,旋度,梯度,非保守力
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