德國一流大學教你數學家的思考工具，將問題化繁為簡！ - 風傳媒

歸納法應用範圍廣泛。

... 演繹推理是把規則應用到個別的情況，來推導出結果。

... 透過爬樓梯的過程的比較，可以幫助我們更了解數學歸納法。

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(圖/woodleywonderworks@flickr) 歸納原則 為了證明一堆有序物件當中的全部東西皆具有某種性質，可以先證明第一個東西有此項性質，然後再證明，若其中任意一個東西具有該性質，則下一個東西也有此性質。

[啟動LINE推播]每日重大新聞通知 如果可以一件接著一件做，數學家就會一直做下去。

─某面牆上的塗鴉智慧 推理法是一種邏輯推論，是從一般情況推導到特殊情況。

歸納推理法和溯因推理法（逆推法）則是兩種非演繹推理法。

下面這個具體的例子可以幫忙區別歸納、演繹及溯因推理法。

歸納推理法是從個別情況與結果來推導出規則。

情況：這些豆子是從這個布袋裡拿出來的。

結果：這些豆子是白色的。

規則：這個布袋裡的所有豆子都是白色的。

推就是要從世界上的模式和規律中，找出尚未觀察到的或是未知的事物。

歸納的結果不一定非得是正確的，得出的僅是一個推論（這個布袋裡的所有豆子都是白色的），不一定要和前提一樣為真（從這個布袋中拿出來的豆子是白色的）。

歸納推理僅是發現有可能的事實。

我們隨時隨地會用到歸納推理。

但是哲學家當中的懷疑論者反對歸納推理。

一般來說，歸納推理法並未考慮所有的個別情況，因此某些未考慮到的情況有可能會與所做出的歸納互相矛盾。

所以，歸納得出的結論在形式邏輯上並不被接受。

機率理論的邏輯 10%的偷車賊是左撇子。

所有的北極熊都是左撇子。

因此如果您的車 被偷了，有10%的機率是北極熊偷走的！！？？─查普曼－可立（J.Chapman-Kelly） 除了日常生活上的實際運用之外，歸納推理還有一連串哲學考慮之下的上層結構。

由哲學家古德曼（NelsonGoodman）首先提出，在此我們由龐士東（WilliamPoundstone）所改寫的一個例子，來看看使用歸納推理之後會發生什麼事情。

有位珠寶商檢查一顆綠寶石。

「又是一顆綠色的綠寶石。

」他想。

「這些年我看過不下上千顆綠寶石，每一顆都是綠的。

」這位珠寶商因此得出一個假設：所有的綠寶石都是綠色的。

這是個歸納推論，而且看似合理。

街上另外一邊也有一位同樣接觸過許多綠寶石的珠寶商。

他是印第安巧克陶族（Choctau），只會說巧克陶語。

從人類語言學的角度來看可以發現一件有趣的事，巧克陶語並不區分藍色和綠色，同一個詞可以同時用來表示兩種顏色。

但在巧克陶語中，卻有okchamali（一種會發光的藍或綠）、okchakko（一種暗沉的藍或綠）之分。

巧克陶族珠寶商說：「所有的綠寶石都是okchamali的。

」這也是一個歸納推論，同樣根據了他看過的上千顆綠寶石。

在同一條街上還有一位經驗同樣豐富，只會說一種稀有語言Gruebleen的珠寶商。

就如德語或巧克陶語，Gruebleen這種語言也有自己對顏色的概念。

Gruebleen語沒有描述綠色的詞彙，但有一種被稱為grue的特質（一個受到古德曼影響而產生的人造詞彙，由green和blue結合而成，另外還有bleen這個詞）。

所有具有grue特質的東西，在2019年12月31日午夜之前都是綠的，一過午夜就是藍的。

而稱為bleen的特質則是：在2019年12月31日午夜之前是藍的，午夜之後變綠。

如果要跟一個說Gruebleen語的人，解釋我們所用的綠色一詞，可以跟他說：就是在2019年12月31日午夜之前是grue，午夜之後是bleen的那個東西。

對於熟悉grue和bleen兩種概念、說Gruebleen這種語言的人，「綠色」是一種聽起來十分人為的用語，他們對於這兩個顏色的定義，是以一個特定的時間點為參考點。

也就是說，grue在德語裡的解釋和綠色在Gruebleen語裡的解釋是對稱的，所以我們沒有辦法說哪個語言在這方面更為基本。

對那位說Gruebleen語的珠寶商而言，目前所有的綠寶石全都是grue的。

現在請各位想像一下，我們同時在三位珠寶商面前擺上一顆綠寶石，並問他們這顆綠寶石在2020年的顏色為何。

三個人異口同聲說，他們在執業多年來的經驗裡從來沒有看過一顆綠寶石會變色。

德國珠寶商預測，眼前的綠寶石在2020年還是綠的。

巧克陶族珠寶商說，它的顏色會是okchamali。

而說Gruebleen語的珠寶商表示，這顆綠寶石在2020年是grue的。

但等一下！在2020年，grue意指藍色。

三位珠寶商與綠寶石接觸的經驗同樣豐富，而且都使用了歸納推理，但說Gruebleen語的珠寶商做出的預測，卻與說德語的珠寶商恰恰相反。

這個自相矛盾絕對不能毫無意義地被忽視：2020新年時，上述的預測至少有一個是錯的。

(圖/julisaustria@flickr) 演繹推理是把規則應用到個別的情況，來推導出結果。

規則：這個布袋裡所有的豆子都是白色的。

情況：這些豆子是從這個布袋裡拿出來的。

結果：這些豆子是白色的。

演繹推理的結果不容爭辯，也可以說一定是正確的。

從形式邏輯看來，演繹推理的結果為有效的結論。

在數學上，也可以盡量使用演繹推理原則的結構。

但是嚴格來說，演繹邏輯推理並未擴充已知知識的數量，它不過是把已經知道的事物換個方式來表達。

溯因推理是從規則和結果來推導出個別情況。

規則：這個布袋裡所有的豆子都是白色的。

結果：這些豆子是白色的。

情況：這些豆子是從這個布袋裡拿出來的。

根據規則和結果所得的結論雖然十分有可能正確，但不一定必為真。

嚴格說來，這其實是非常粗略的邏輯，因為得出的結論十分不確定，如果正確，頂多也是碰巧，而且也沒有任何其他可以佐證的證據。

和歸納推理相比，不僅是量的差別，也是質的差別。

透過溯因推理得出的結論，是建立在間接證據的猜測，推理出一個觀察結果的最佳解釋。

這個結論有可能為真，因而得悉潛在的真相。

日常生活中我們經常做出如此的推論，像是想證明嫌犯有罪的警探，或是要根據特定症狀來做出初步診斷的醫生，這些事務的本質裡也都存在著溯因推理的結論。

將以上幾種推理法分門別類過後，現在要介紹的完全歸納法（數學歸納法）就是我們的下一個思考工具。

數學歸納法的概念，最早是在1654年由巴斯卡（BlaisePascal）建立起來的。

一種只需要兩個步驟就可以檢驗眾多、甚至是無限多個命題的基本原則。

只要其中的命題可以排序、且任何一個命題與前一個命題之間存在著特定關係，歸納法可能就會適用。

我們在思考時經常選擇採用歸納原則，譬如要證明一個關於所有自然數的命題是否成立。

為了證明一個取決於n的命題A(n)對任何一個自然數n都成立，我們先將那些使得命題A(m)為真的自然數m所成的集合稱為M。

然後我們必須考慮M是所有自然數1、2、3、……的集合。

一個可能的進行方法是分成兩個邏輯步驟：第一步先證明，A(1)是真確的命題，而第二步是驗證，若對於任意自然數m，從A(m)成立可推導出A(m+1)也為真，那麼這個命題對於下一個自然數也成立。

因為聽起來還是十分抽象，所以我想把這個基本結構具體解釋一下。

如果已知某個取決於n、而要證明對於所有n皆成立的命題（例如20+21+22+…+2n=2n+1−1），首先可證明它對n=1為真（歸納起始點），再來，對任意自然數m，若從n=m時命題會成立可以推導出n=m+1時命題也會成立（歸納步驟），那麼這個命題對所有的自然數n皆成立。

論證過程的兩個部分同樣重要。

沒有歸納起始點的歸納步驟，以及沒有歸納步驟的歸納起始點，都是不完備的，無法證明所有自然數n的情形。

透過爬樓梯的過程的比較，可以幫助我們更了解數學歸納法。

成功的爬上樓梯包含兩個層面。

第一必須知道如何爬上第一層階梯。

其次必須找出一個從某一階爬到下一階的方法。

一旦這兩關都會了，那麼便可以登上第一階，然後從第一階爬上第二階、從第二階爬到第三階等等，而可登上任何一階。

如果在第一階就失敗，或是無法從第一階到下一階的話，整個過程就進行不了。

數學家將歸納原則內化了，遠遠就能察覺這個方法是否能、從哪裡、該如何成功用來解決某個特定問題。

不懂數學的門外漢卻對這個方法保持著懷疑的態度。

偶爾可以聽到他們反對數學歸納法的論點，例如有待證明的地方已被當成歸納步驟的前提。

事實並非如此。

在歸納步驟裡證明的是一個條件語句：若一個要被證明的命題在特定情況下是對的，則對下一個情況也是對的。

但如果找不到這種情況，那麼前後情況之間的連結就沒有邏輯意義了。

這是條件推論的中心思想之一。

然而條件推論也有它的陷阱。

所以我們先來談談這種類型的推論及伴隨而來的陷阱。

許多人在條件推論上產生適應困難，這通常是發生在處理條件句時。

一個條件句是由兩個敘述P與Q組成，兩者以「若⋯⋯則⋯⋯」的結構合成一句：若P，則Q。

譬如：「如果有人做了一場旅行，那他一定有故事可講。

」或是：「如果他們還沒死的話，那麼就會從此過著幸福快樂的生活。

」 條件推論的有效變體在形式邏輯上稱為肯定前件（Modusponens），具有以下結構：從蘊涵關係「若P則Q」以及P為真，可推得Q也為真。

因此，肯定前件是由前提（「某人去旅行」）推斷出結論（「他一定能講些東西」）。

這是簡單的條件推論形式，通常連學齡前兒童都能大致掌握。

第二種複雜許多的條件推論形式為否定後件（Modustollens），具有以下結構：從蘊涵關係「若P則Q」以及Q的反面為真（非Q），可推斷出P的反面為真（非P）。

由此看來，否定後件是從否定的結論（「他沒有東西能講」）推理出否定的前提（「他沒去旅行」）。

儘管多數孩童都能掌握肯定前件這種推論形式，有些成年人在碰到否定後件這種推論形式時，卻出現問題，錯誤地應用在：從蘊涵關係「若P則Q」以及Q為真，得出P也為真。

這是無效的結論，用剛才所舉的例子來看就會明白，不是每個有故事可講的人，之前都必定旅行過。

其他的活動也能提供故事題材。

在此情況下其他可以想到的推論形式，即從蘊涵關係「若P則Q」推導出「若非P則非Q」，邏輯上來說也不成立。

由剛剛的例子，就會是：「沒有旅行的人，就沒有東西好講」，而這是錯的。

有些人雖然沒旅行，還是有話題可以講。

為了感受一般人在否定後件上遇到的困難，我們來看看華森（P.C.Wason）在1960年代提出的選擇任務實驗。

華森在受試者的面前放了四張卡片，每張卡片有一面是英文字母，另一面是數字。

同時他告訴他們一項規則：「如果一張卡片有一面是母音，它的另一面必定是偶數。

」受試者的任務就是要決定應該翻開四張卡片當中的哪幾張，來驗證這個規則。

華森的四張卡片如下： 華森的選擇任務實驗。

(圖/漫遊者文化) 華森實驗受試者的作答整理如下： 作答     答案頻率 A和4      46% A         33% A、4和7    7% A和7      4% 其他      10% 如果我們將「卡片的一面是母音」這句話簡寫成P，把另一句「卡片的另一面是偶數」簡寫成Q，那麼便能將剛剛所提的規則寫成蘊涵關係「若P則Q」。

印著A的卡片，代表的是屬於蘊涵關係的肯定前件（前提P為真），而印著7的卡片則代表否定後件（結論Q不正確）。

為了驗證這項規則，必須檢查肯定前件和否定後件是否有效。

因此我們必須將A卡和7卡翻面。

至於剩下的D卡和4卡，代表的非P和Q，不管它們另外一面印的是什麼，都不會影響規則的正確性。

華森選擇任務的實驗結果可以得出以下解釋：絕大多數的受試者都知道如何運用肯定前件，因為他們選擇翻開A卡，但只有少數人正確運用否定後件。

否定後件之所以失敗，通常在於直接從結果來推斷原因，這當然站不住腳。

結果的發生，頂多只會為原因增加說服力。

會錯誤使用否定後件，可見人類傾向用非演繹式的推理。

大體而言，我們可以將這種與生俱來的思考方式這麼總結：如果從我的假設P可以預測出事件Q，又如果根據既有的知識程度，事件Q的發生機率很低，那麼當事件Q發生了，我的假設P就變得更可信。

換句話說，我們觀察到不尋常的事件Q。

但如果P為真，那麼Q就是理所當然之事。

由於如此，當Q發生時，就有理由說P也為真。

因此，溯因推理的規則會導致假設P變得更具說服力。

這是一種合理的論證，但不合乎邏輯。

嚴格的從邏輯上看來，我們根本無法從「若P則Q」和「Q為真」推理出任何結果。

這樣的推論不具邏輯說服力，而只是合理的推論。

但溯因推理規則在日常生活和科學中仍舊十分重要，因而也用於人工智慧，來模擬正常人類的思考模式。

溯因推理在許多科學領域中根本就是科學方法的典範：如果某個科學假說（或理論）P做了一項預測Q，隨後Q也真的發生了，這個科學理論便贏得支持。

如果有許多個假說或理論競相解釋某個事實，那麼一個驗證理論的可能性便在於，先從這些假說推導出結果，然後做實驗，看看這些結果是否會發生，或說有哪些結果會發生。

如果某個理論預測一個結果，而這個結果真的發生，此理論便獲得支持，但未受到證明。

相反地，如果發生的事件與理論預測相牴觸，這個理論就會失去威信，甚至被瓦解。

就像這一章開頭提到的，我們還可以注意到，一般而言歸納推理是從特殊情形推到一般情況的推理形式。

數學歸納法也是從特殊情況推至一般情形，但是在本質上並非歸納推理，而是演繹推理法。

說得更精確些，數學歸納法的論證是經過演繹證明的：因為包含了所有的情況，所以這種歸納法（在數學上）是完備的。

數學歸納法讓我們看到，如何從一個論點的成立，然後透過驗證唯一一個蘊涵關係，擴展到所有可能的情況。

現在你也許可以看得更清楚，這種推理法的本質為何。

在前面描述的數學歸納法運用中，用自然數編號的命題會一個接一個地處理。

當然也可以用別的方式處理所有的自然數；例如在歸納步驟時不是從n推到n+1，而是從n推到2n，之後再將因此產生的缺口用倒推的方式補上，從命題對n成立，來證明命題對n−1也成立。

這就是所謂的正推－倒推－歸納法。

如果只是為了證明某命題對於所有自然數1、2、⋯⋯、m為真，在歸納步驟時也可以使用倒推的步驟，證明命題在從n推到n−1時也成立（倒推歸納法），而歸納起始點，就會是證明當n=m時命題成立。

我們現在把歸納原則使用在一個學校教的幾何範例上： 黑白畫家的經驗寶藏 K先生只畫黑白作品，而且是後現代風格；不像普通的畫作，K先生的畫只有直線，直線交錯產生的區塊他便畫上黑或白。

K先生的經驗是，不管畫了幾條直線，不管直線如何交錯，每一個（被直線分隔開的）區塊的顏色都不同，例如下圖中n=4條直線的圖案： 黑白畫家的作品。

(圖/漫遊者文化) 現在來想像一下有任意n條直線和所形成的區塊，每條直線的「左邊」和「右邊」代表的是有意義的概念。

現在使用數學歸納法的風格，先看只有一條直線時的情況。

一條直線將一個平面分成2個區塊。

顯然可以畫上不同的顏色。

這不難。

接下來我們假設被n條直線分割的平面，其著色的區塊是符合我們的條件。

現在加上一條直線G，位置隨便，只要不和之前的直線重疊即可。

這條直線分開了一些已經著上顏色的區塊，而從新的直線的位置看來，分成左邊和右邊。

我們現在把所有新直線G左邊的區塊重新著上顏色。

這個動作不僅影響了被G所分隔的區塊，還有所有在G左邊，但是不和G相鄰的區塊。

重新著色後G右邊區塊的上色也符合規則，所以新區塊的著色也成立。

這就是證明。

在第二個數學歸納法的例子裡，我們來看看二項式係數和2的幕次之間看似純屬理論的關係。

對於所有自然數n，下面的式子都成立： B(n,1)+2B(n,2)+3B(n,3)+⋯+nB(n,n)=n2n-1(18) 我們想要使用歸納原則來證明。

歸納起始點： n=1:B(1,1)=1!/(1!⋅0!)=1=1⋅20 歸納步驟： 我們先假設，當任意自然數n=k時(18)式成立，也就是 B(k,1)+2B(k,2)+3B(k,3)+⋯+kB(k,k)=k2k-1 為了方便稱呼，我們將左式簡稱為S(k)。

於是， S(k+1)=B(k+1,1)+2B(k+1,2)+3B(k+1,3)+⋯+ (k+1)B(k+1,k+1) 基本的概念就在於使用到下面這個分解： B(n,k)=B(n−1,k)+B(n−1,k−1) 把等號左右兩邊分開計算，便可驗證上面的式子。

我們再次看到富比尼原理發揮作用。

根據二項式係數的定義，左式是指從n個人中選出k人（k人小組）的方法數。

右式的解釋為：選出任何一人P。

B(n−1,k)是選出不含P在內的k人小組的方法數，而B(n−1,k−1)則是包含P在內的k人小組的方法數。

兩者之和便是從n人中選出k人小組的方法數。

在這一步的考慮之後，我們可以把剛才的式子重新寫成： S(k+1)=[B(k,0)+B(k,1)]+2[B(k,1)+B(k,2)]+⋯+k[B(k,k–1) +B(k,k)]+(k+1)B(k,k) =B(k,0)+3B(k,1)+5B(k,2)+⋯+(2k+1)B(k,k) =[B(k,0)+B(k,1)+B(k,2)+⋯+B(k,k)]+2S(k) =2k+2k⋅2k–1 =(k+1)⋅2k 在倒數第二步，我們使用了101頁的(10)式來化簡中括號裡的式子。

這是個完整的證明。

但我們在這個例子多停留一會兒。

受到富比尼原理發揮用的鼓勵，我們決定替複雜得多的(18)式尋找一個類似的論證：一個比數學 歸納法更有創意的另類證法。

(圖/272/365OutdoorRevision@flickr) 為此我們先自問以下的問題：從n人當中選出k人小組，而k人小組裡有一人是主席，可有多少種選法？k人小組可以選第1到第n個成員，而k人小組中的任何成員均可當主席。

答案：選出k人小組一共有B(n,k)種選法，而對於每種選法，又有k種選出主席的方法，根據乘法原理，就有kB(n,k)種可能的選法。

好啦，k可以從1任意變化到n。

這就產生了kB(n,k)從1到n的加總。

這也正是(18)式的左半邊。

太好了。

那該如何求出右半邊呢？十分簡單。

我們可以換個方式計算，先從n人中選出主席，這一共有n種選法。

然後再從剩下的n−1人中選出k人小組的其他成員。

從n−1人中，不是被選進k人小組，就是被排除在外，所以對每個人來說都有兩種可能。

對n−1人而言，根據乘法原理，就有2n-1種可能。

因此，同樣是根據乘法原理，總共會有n2n-1種選法。

十分漂亮的證法，也是公式(18)的第二種證明方法。

還有一個同樣機智、在某方面看來甚至更漂亮的方式來證明(18)式：透過S(n)/2n。

這個比率用文字來敘述，意思為含有n個元素的集合{1,2,3,⋯,n}的所有子集合的平均大小。

這是因為，有k個元素的子集合恰好有B(n,k)個，而所有的子集合總共有2n個。

為什麼呢？因為對於n個元素的每個元素來說，也永遠有兩種可能：屬於某個子集，或不屬於某個子集。

現在我們可以把任何一個子集跟其餘集配對。

成對的集合一共含有n個元素，平均每個集合有n/2個元素。

由於每對集合都有n/2個元素，所以S(n)/2n=n/2正是(18)式所說的內容。

很特別吧！ 本文經授權轉載自漫遊者文化《德國一流大學教你數學家的22個思考工具》 分頁閱讀 相關報導 女生數學比較差？「缺乏自信」是主因 為什麼大家都送孩子去學小提琴？學音樂有什麼過人的好處？ 好害怕講錯話，覺得所有人都在嘲笑我…不敢發表意見的人，其實都弄錯了一件事 楊照專文：他們的教育，擁有個人自由，但也遵守團體紀律 拯救英格蘭小學生「數學盲」明年起要會背12X12乘法表 知識思考加實作，學習效果才能超進化──英國中學生的各種「實作專案」 關鍵字： 數學 學習 邏輯 歸納法 風傳媒歡迎各界分享發聲，來稿請寄至 [email protected] 今日精選 道地台南人一致推薦的7家牛肉湯！傳奇滋味絕非浪得虛名，全台最值得一嚐的佳餚在這裡 食譜》人見人愛的麻婆豆腐，做法原來超簡單！3步驟、10分鐘完工，吃了都流淚 《神隱少女》的5個秘密，宮崎駿的隱喻，20年來我們都沒看懂 趙心屏專文：35歲CEO回春93歲明華園邁向元宇宙 食譜》馬鈴薯真的是省錢好朋友！4道超簡單家常菜，快速料理就能上桌 趙心屏專文：做一個十年大夢的「三不原則」 難進台積電，文科生與百萬薪無緣？他用經濟系思維經營YouTube，兩年進帳350萬 真正的美味藏在路邊攤！高雄在地人認證27家必吃美食，只吃丹丹漢堡太可惜啦 本週最多人贊助文章 本週 11 人贊助，累計贊助金額$ 1,115 明明有孩子要養，為何不找份好工作？社工15年看遍台北貧困家庭，道出壓垮單親最沉重關鍵 謝孟穎 2022-07-2109:20 「我們社會對成年人只有一種想像，工作賺錢、累積財富、退休，但弱勢跟貧窮的人已經跟不上這個了……這些媽媽不只沒錢、工作不穩定、影響下一餐... 本週 5 人贊助，累計贊助金額$ 435 風評：民進黨國確立，告別行政中立 主筆室 2022-07-2007:20 所謂「事不過三」，但陳時中總是一而再、再而三，屢犯不止。

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