泰勒級數- 維基百科，自由的百科全書

在數學中，泰勒級數（英語：Taylor series）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。

泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國 ... 泰勒級數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在數學中，泰勒級數（英語：Taylorseries）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。

泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒（SirBrookTaylor）來命名的。

通過函數在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做馬克勞林級數，以蘇格蘭數學家科林·馬克勞林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。

實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。

一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。

一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限（如果存在極限）。

即使泰勒級數在每點都收斂，函數與其泰勒級數也可能不相等。

在開區間（或複平面上的開區間）上，與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數。

目次 1定義 2解析函數 3常用的函數:麥克勞林級數 3.1幾何級數 3.2二項式級數 3.3指數函數和自然對數 3.4三角函數 3.5雙曲函數 3.6朗伯W函數 4多元函數的展開 5歷史 6與牛頓插值公式的淵源 6.1差分 6.2插值公式 6.3無窮級數 7參考文獻 8參見 定義[編輯] 在數學上，對於一個在實數或複數 a {\displaystylea} 鄰域上，以實數作為變數或以複數作為變數的函數，並且是無窮可微的函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} ，它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數： ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}} 這裡， n ! {\displaystylen!} 表示 n {\displaystylen} 的階乘，而 f ( n ) ( a ) {\displaystylef^{(n)}(a)\,\!} 表示函數 f {\displaystylef} 在點 a {\displaystylea} 處的 n {\displaystylen} 階導數。

如果 a = 0 {\displaystylea=0} ，也可以把這個級數稱為馬克勞林級數。

解析函數[編輯] 柯西在1823年指出函數 exp ⁡ ( − 1 x 2 ) {\displaystyle\exp\left(-{\frac{1}{x^{2}}}\right)} 在 x = 0 {\displaystylex=0} 無法被解析。

如果泰勒級數對於區間 ( a − r , a + r ) {\displaystyle(a-r,a+r)} 中的所有 x {\displaystylex} 都收斂並且級數的和等於 f ( x ) {\displaystylef(x)} ，那麼我們就稱函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} 為解析形的函數（analytic）。

一個函數若且唯若（簡單地說，「只有在且只要在」）能夠被表示為冪級數的形式時，才是解析形的函數。

通常會用泰勒定理來估計級數的餘項，這樣就能夠確定級數是否收斂於 f ( x ) {\displaystylef(x)} 。

上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。

以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的： 可以逐項對冪級數的計算微分和積分，因此求和函數相對比較容易。

數學家因此能夠在複數平面上研究函數，因為一個解析函數，也可以被定義為在複平面中一個開放的區間內的解析函數(在區間內每一個點上都能被微分的函數)。

可用泰勒級數估計，在某一點上函數會計算出什麼值。

對於一些無窮的可以被微分函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} ，雖然它們的展開式會收斂，但是並不等於 f ( x ) {\displaystylef(x)} 。

例如，分段函數 f ( x ) = exp ⁡ ( − 1 x 2 ) {\displaystylef(x)=\exp\left(-{\frac{1}{x^{2}}}\right)} ，如果 x ≠ 0 {\displaystylex\neq0} 並且 f ( 0 ) = 0 {\displaystylef(0)=0} ，則 x = 0 {\displaystylex=0} 時所有的導數都為零，所以這個 f ( x ) {\displaystylef(x)} 的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，不過函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} 僅在 x = 0 {\displaystylex=0} 處為零。

但是，在以複數作為變數的函數中這個問題並不存在，因為當 z {\displaystylez} 沿虛數軸趨於零， exp ⁡ ( − 1 z 2 ) {\displaystyle\exp\left(-{\frac{1}{z^{2}}}\right)} 並不趨於零。

如果一個函數在某處引發一個奇異點，它就無法被展開為泰勒級數，不過如果變數 x {\displaystylex} 是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。

例如，雖然在 x = 0 {\displaystylex=0} 的時候， f ( x ) = exp ⁡ ( − 1 x 2 ) {\displaystylef(x)=\exp\left(-{\frac{1}{x^{2}}}\right)} 會引發奇異點，但仍然能夠把這個函數展開為一個洛朗級數。

最近，專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程式的方法——Parker-Sochackimethod（英語：Parker-Sochackimethod）[1]。

用皮卡反覆運算便可以推導出這個方法。

常用的函數:馬克勞林級數[編輯] 在複平面上餘弦函數的實數部分。

在複平面上餘弦函數的第八度逼近 兩個以上的曲線放在一起 下面我們給出了幾個重要的馬克勞林級數。

當變數 x {\displaystylex} 是複數時，這些等式依然成立。

幾何級數[編輯] 主條目：幾何級數 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯ ∀ x : | x | < 1 {\displaystyle{\frac{1}{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots\quad\forallx:\left|x\right|<1} 二項式級數[編輯] ( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n + ⋯ {\displaystyle(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}{\binom{\alpha}{n}}x^{n}=1+\alphax+{\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}}x^{2}+\cdots+{\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots} ∀ x : | x | < 1 , ∀ α ∈ C {\displaystyle\forallx:\left|x\right|<1,\forall\alpha\in\mathbb{C}} 二項式係數 ( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! {\displaystyle{\binom{\alpha}{n}}=\prod_{k=1}^{n}{\frac{\alpha-k+1}{k}}={\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}}} 。

指數函數和自然對數[編輯] 以 e {\displaystylee} 為底數的指數函數的馬克勞林序列是 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯ ∀ x {\displaystylee^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{3}}{3!}}+\cdots+{\frac{x^{n}}{n!}}+\cdots\quad\forallx} （對所有X都成立） 以 e {\displaystylee} 為底數的自然對數的馬克勞林序列是 ln ⁡ ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n = − x − x 2 2 − x 3 3 − ⋯ − x n n − ⋯ ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ) {\displaystyle\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n}}=-x-{\frac{x^{2}}{2}}-{\frac{x^{3}}{3}}-\cdots-{\frac{x^{n}}{n}}-\cdots\quad\forallx\in[-1,1)} （對於在區間[-1,1)內所有的X都成立） ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 n x n + ⋯ ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ] {\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{3}}{3}}-\cdots+{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots\quad\forallx\in(-1,1]} （對於在區間(-1,1]內所有的X都成立） 三角函數[編輯] 常用的三角函數可以被展開為以下的馬克勞林序列： sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ ∀ x cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ ∀ x tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ ∀ x : | x | < π 2 sec ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ ∀ x : | x | < π 2 arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ ∀ x : | x | ≤ 1 arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = π 2 − x − x 3 6 − 3 x 5 40 + ⋯ ∀ x : | x | ≤ 1 arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ ∀ x : | x | ≤ 1 ,   x ≠ ± i {\displaystyle{\begin{aligned}\sinx&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac{x^{3}}{3!}}+{\frac{x^{5}}{5!}}-\cdots&&\forallx\\[6pt]\cosx&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{4}}{4!}}-\cdots&&\forallx\\[6pt]\tanx&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac{x^{3}}{3}}+{\frac{2x^{5}}{15}}+\cdots&&\forallx:|x|