保守力- 维基百科，自由的百科全书

假设一個受到某作用力的粒子，從初始位置移動到終結位置，而此作用力所做的功跟移動路徑無關，則稱此力為保守力（conservative force），又稱為守恆力。

保守力 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 假設一個受到某作用力的粒子，從初始位置移動到終結位置，而此作用力所做的功跟移動路徑無關，則稱此力為保守力（conservativeforce），又稱為守恆力[1]。

[2]等價地說，假設一個粒子從某位置，移動經過一條閉合路徑後，又回到原本位置，則作用於這粒子的保守力所做的機械功（保守力對於整個閉合路徑的積分）等於零。

[3]假設在一個物理系統裏，所有的作用力都是保守力，則稱此物理系統為「保守系統」，又稱為「守恆系統」。

對於這種系統，在空間裏每一個位置，都可以給定位勢一個唯一數值。

假設粒子從某位置移動至另一位置，則由於保守力的作用，粒子的位能可能會有所改變，但前後差值與移動經過的路徑無關。

例如，重力是一種保守力，而摩擦力是一種非保守力。

目次 1概述 2路徑獨立性 3保守力的性質 3.1數學證明 3.2磁場力 4非保守力 5參閱 6參考文獻 概述[編輯] 保守力可以視為一種使機械能守恆的作用力。

在一個孤立系統裏，假若所有的作用力都是保守力，則此系統的機械能守恆。

在這裏，機械能指的是動能與位能的總合。

思考一個閉合路徑，假設，感受著某作用力，一個粒子從初始位置A移動經過任意閉合路徑後，又回到位置A，而此作用力所做於粒子的機械功都等於零，則此作用力滿足保守力的條件，可以被分類為保守力。

請注意，對於這物理系統，很可能有其他的作用力施加於粒子，但是，這分類只專注於指定的作用力，忽略其他的作用力。

當然，根據疊加原理，這分類也可以專注於幾個作用力的淨力。

例如重力、彈簧力、磁場力（依照某些定義而定，稍後會加以詳細說明）、電場力（伴隨的磁場與時間無關，請參閱法拉第電磁感應定律）等等，都是保守力；而摩擦力和空氣阻力是典型的非保守力。

對於非保守力，由於能量守恆，損耗的能量必需被傳輸到其他地方。

通常，能量會轉換為熱能，例如，摩擦力會產生熱能，有時候，還會產生聲能。

對於移動中的船隻，水的阻力會將船隻的機械能轉換為熱能、聲能、以及在尾流邊緣的波能。

由於熱力學第二定律，這些能量損耗是不可逆的。

路徑獨立性[編輯] 因為重力是保守力，它對於一個物體所做的機械功，只跟物體位置高度的差值有關。

閉合路徑思想實驗得到的直接結果是，保守力對於一個粒子所做的機械功，跟移動路徑無關；還有，這機械功等於，終結位能減去初始位能。

試著證明這句話的正確性。

設想從點A到點B有兩條不同的路徑。

選擇路徑1從點A移動到點B，然後選擇路徑2反方向從點B移動到點A，粒子能量的改變是零。

因此，不管是選擇路徑1或路徑2，從點A移動到點B，所做的機械功相等。

保守力所做的機械功與經過哪一條路徑無關，只要兩條路徑的初始點與終結點相同。

舉例而言，假設一個小孩從一個滑梯上滑下來，從滑梯的頂端到底端，不論滑梯的形狀，直線型或螺旋型，重力對於這小孩所做的機械功都一樣的。

重力所做的機械功，只跟這小孩的落差有關。

保守力的性質[編輯] 設定 F {\displaystyle\mathbf{F}} 為在空間任意位置良好定義（或空間內單連通的區域）的向量場，假若它滿足以下三個等價的條件中任意一個條件，則可稱此向量場為保守向量場： 1、 F {\displaystyle\mathbf{F}} 的旋度是零： ∇ × F = 0 {\displaystyle\nabla\times\mathbf{F}=0} 。

2、假設粒子從某閉合路徑 C {\displaystyle\mathbb{C}} 的某一位置，經過這閉合路徑 C {\displaystyle\mathbb{C}} ，又回到原先位置，則力向量場 F {\displaystyle\mathbf{F}} 所做的機械功 W {\displaystyleW} 等於零： W = ∮ C F ⋅ d r = 0 {\displaystyleW=\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0} 。

3、作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}} 是某位勢 Φ {\displaystyle\Phi} 的梯度： F = − ∇ Φ {\displaystyle\mathbf{F}=-\nabla\Phi} 。

保守力因為可以保守機械能而得名。

最常見的保守力為重力、電場力（伴隨的磁場與時間無關，請參閱法拉第電磁感應定律）、彈簧力。

數學證明[編輯] 1⇒2： 設定 C {\displaystyle\mathbb{C}} 為任意簡單閉合路徑，即初始位置與終結位置相同、不自交的路徑。

思考邊界為 C {\displaystyle\mathbb{C}} 的任意曲面 S {\displaystyle\mathbb{S}} 。

斯托克斯定理表明 ∫ S ( ∇ × F ) ⋅ d a = ∮ C F ⋅ d r {\displaystyle\int_{\mathbb{S}}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}} 。

假設 F {\displaystyle\mathbf{F}} 的旋度等於零，方程式左邊為零，則機械功 W {\displaystyleW} 是零，第二個條件是正確的。

2⇒3： 假設，對於任意簡單閉合路徑 C {\displaystyle\mathbb{C}} ， F {\displaystyle\mathbf{F}} 所做的機械功 W {\displaystyleW} 是零，則保守力所做於粒子的機械功，獨立於路徑的選擇。

設定函數 Φ ( x ) = − ∫ O x F ⋅ d r {\displaystyle\Phi(\mathbf{x})=-\int_{\mathbf{O}}^{\mathbf{x}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}} ； 其中， o {\displaystyle\mathbf{o}} 和 x {\displaystyle\mathbf{x}} 分別是特定的初始位置和空間內任意位置。

根據微積分基本定理， F ( x ) = − ∇ Φ ( x ) {\displaystyle\mathbf{F}(\mathbf{x})=-\nabla\Phi(\mathbf{x})} 。

所以，第三個條件是正確的。

3⇒1： 假設第三個條件是正確的。

思考下述方程式： ∇ × F = − ∇ × ∇ Φ = − ( ∂ 2 Φ ∂ y ∂ z − ∂ 2 Φ ∂ z ∂ y ) x ^ − ( ∂ 2 Φ ∂ z ∂ x − ∂ 2 Φ ∂ x ∂ z ) y ^ − ( ∂ 2 Φ ∂ x ∂ y − ∂ 2 Φ ∂ y ∂ x ) z ^ = 0     ∘ {\displaystyle{\begin{aligned}\nabla\times\mathbf{F}&=-\nabla\times\nabla\Phi\\&=-\left({\frac{\partial^{2}\Phi}{\partialy\partialz}}-{\frac{\partial^{2}\Phi}{\partialz\partialy}}\right){\hat{x}}-\left({\frac{\partial^{2}\Phi}{\partialz\partialx}}-{\frac{\partial^{2}\Phi}{\partialx\partialz}}\right){\hat{y}}-\left({\frac{\partial^{2}\Phi}{\partialx\partialy}}-{\frac{\partial^{2}\Phi}{\partialy\partialx}}\right){\hat{z}}\\&={\boldsymbol{0}}\\_{\circ}\\\end{aligned}}} 所以，第一個條件是正確的。

總結，這三個條件彼此等價。

由於符合第二個條件就等於通過保守力的閉合路徑考試。

所以，只要滿足上述三個條件的任何一條件，施加於粒子的作用力就是保守力。

磁場力[編輯] 很多種作用力不是力向量場，特別是跟速度有關的作用力。

對於這些案例，上述三個條件並不數學等價。

例如，磁場力滿足第二個條件（由於作用於帶電粒子的磁場力所做的機械功永遠為零），但是不滿足第三個條件，而第一個條件更是不存在定義──磁場力不是向量場，磁場力與速度有關，必需先給定速度函數的形式，才能計算磁場力的旋度。

所以，有一些物理學者將磁場力分類為保守力，而又有一些物理學者反對這樣分類。

磁場力是一個特別案例；大多數跟速度有關的作用力，像摩擦力，不能滿足上述三個條件中的任意一個條件，因此，可以明確地分類為非保守力。

[4][5] 非保守力[編輯] 在古典力學裏，當計算一個物理系統的運動時，為了簡易分析與計算，自由度被忽略，因此會出現非保守力。

舉例而言，摩擦力不能被視為一種非保守力，而是每一個分子在運動時互相作用的力。

可是，這樣做，就不能應用統計力學，而必須特別計算每一個分子的運動。

對於宏觀系統，非保守力的概算，比起額外幾百萬自由度的計算，會簡單很多。

非保守力的案例有摩擦力、非彈性物質的應力。

在廣義相對論裏，重力是非保守力，這可以從水星近日點的反常進動觀察得著。

但是，應力-能量張量是守恆的。

參閱[編輯] 保守向量場 螺線向量場 參考文獻[編輯] ^DavidHalliday，《FundamentalsofPhysicsExtended》，第9版，173：「Thisresultiscalledtheprincipleofconservationofmechanicalenergy.(Nowyoucanseewhereconservativeforcesgottheirname.)」，即「遵守力學能『守恆』的力」稱為「守恆力」。

^HyperPhysics-Conservativeforce.[2012-01-20].（原始內容存檔於2012-01-04）.  ^LouisN.Hand,JanetD.Finch.AnalyticalMechanics.CambridgeUniversityPress.1998:41.ISBN 0521575729.  ^Forexample,Mechanics,P.K.Srivastava,2004,page94:"Ingeneral,aforcewhichdependsexplicitlyuponthevelocityoftheparticleisnotconservative.(However,themagneticforce(qv×B)canbeincludedamongconservativeforcesinthesensethatitactsperpendiculartovelocityandhenceworkdoneisalwayszero". ^Forexample,TheMagneticUniverse:GeophysicalandAstrophysicalDynamoTheory,RüdigerandHollerbach,page178. 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=保守力&oldid=69248610」 分類：經典力學力勢隱藏分類：含有英語的條目使用過時的math標籤格式的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAzərbaycancaБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)বাংলাCatalàDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתBahasaIndonesiaItalianoҚазақша한국어LatviešuNederlandsNorsknynorskPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийSlovenščinaСрпски/srpskiTürkçeУкраїнськаTiếngViệt粵語 編輯連結