複數平面- 維基百科，自由的百科全書

數學中，複數平面（英語：Complex plane）是用水平的實數軸與垂直的虛數軸建立起來的複數的幾何表示。

它可視為一個具有特定代數結構笛卡兒平面（實平面），一個複數的 ... 複數平面 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 z {\displaystylez} 與其共軛 z ¯ {\displaystyle{\bar{z}}} 在複數平面中的幾何表示。

從原點到點z的淡藍色直線是z的模長或絕對值。

角 φ {\displaystyle\varphi} 是z的輻角。

數學中，複數平面（英語：Complexplane）是用水平的實數軸與垂直的虛數軸建立起來的複數的幾何表示。

它可視為一個具有特定代數結構笛卡兒平面（實平面），一個複數的實部用沿著x-軸的位移表示，虛部用沿著y-軸的位移表示[1]。

複數平面有時也叫做阿爾岡平面，因為它用於阿爾岡圖中。

這是以讓-羅貝爾·阿爾岡（1768-1822）命名的，儘管它們最先是挪威-丹麥土地測量員和數學家卡斯帕爾·韋塞爾（1745-1818）敘述的[2]。

阿爾岡圖經常用來標示複數平面上函數的極點與零點的位置。

複數平面的想法提供了一個複數的幾何解釋。

在加法下，它們像向量一樣相加；兩個複數的乘法在極坐標下的表示最簡單——乘積的長度或模長是兩個絕對值或模長的乘積，乘積的角度或輻角是兩個角度或輻角的和。

特別地，用一個模長為1的複數相乘即為一個旋轉。

目次 1記號約定 2球極平面投影 3切割複數平面 3.1多值關係與分支點 3.2亞純函數定義域的限制 3.3收斂區域的分類 4將切開的平面重新黏合 5其它含義 6另見 7注釋 8參考文獻 9外部連結 記號約定[編輯] 在複分析中複數通常用符號z表示，它可以分為實部(x)與虛部(y)： z = x + i y {\displaystylez=x+iy\,} 這裡x與y是實數，i是虛單位。

在這種通常記法下複數z對應與笛卡兒平面中的點(x,y)。

笛卡兒平面中的點(x,y)在極坐標中也能表示為 ( x , y ) = ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) ( r = x 2 + y 2 ; θ = arctan ⁡ y x ) . {\displaystyle(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\qquad\left(r={\sqrt{x^{2}+y^{2}}};\quad\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\right).\,} 在笛卡兒平面中可能假設反正切函數 arctan {\displaystyle\arctan} 取值於−π到π弧度（當x≤0時，對(x,y)定義「真正的」反正切函數需要一點考慮[3]。

在複數平面上它們的極坐標具有如下形式（第三個等號源自歐拉公式） z = x + i y = | z | ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = | z | e i θ {\displaystylez=x+iy=|z|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=|z|e^{i\theta}\,} 這裡 | z | = x 2 + y 2 ; θ = arg ⁡ ( z ) = − i log ⁡ z | z | . {\displaystyle|z|={\sqrt{x^{2}+y^{2}}};\quad\theta=\arg(z)=-i\log{\frac{z}{|z|}}.\,} [4] 這裡|z|是複數z的絕對值或模長；θ，z的輻角，通常取值於區間0≤θ<2π；最後一個等式（|z|eiθ）得自歐拉公式。

注意z的輻角是多值的，因為複指數函數是週期為2πi。

從而，如果θ是arg(z)的一個值，其它值由arg(z)=θ+2nπ給出，這裡n是任何≠0整數[5]。

圍道積分理論是複分析的重要組成部分。

在此情形，沿著閉曲線的積分方向是要緊的——沿著相反的方向所得的積分值乘以−1。

習慣上「正方向」是逆時針方向。

例如，沿著單位圓我們從點z=1開始，向左上移動經過z=i，然後向左下經過−1，右下經過−i，最後向右上移動到達起點z=1，這就是單位圓的正方向。

幾乎所有複分析專注複函數——即將複數平面的一個子集映到複數平面某個另外的（可能相交甚至重合）子集。

這裡習慣說f(z)的定義域位於z-平面上，並稱f(z)的值域或像作為w-平面中的一個點集。

用符號記成 z = x + i y ; f ( z ) = w = u + i v , {\displaystylez=x+iy;\qquadf(z)=w=u+iv,\,} 並經常將函數f視為z-平面（帶有坐標(x,y)）到w-平面（帶有坐標(u,v)）的轉換。

球極平面投影[編輯] 主條目：球極平面投影 將複數平面視為一個球面的一部分是有用的。

給定一個單位半徑球面，使複數平面穿過其正中間，這樣球的中心與複數平面的原點z=0重合，球面上的赤道與平面的單位圓重合。

我們可以將球面上的點與複數平面建立如下一一對應。

給定平面上一點，連接這一點與球面的北極之直線與球面恰好交於另一點。

點z=0將投影到球面的南極。

因為單位圓周的內部在球面內，整個區域（|z|<1）將映到南半球。

單位圓周自己（|z|=1）映到赤道，而單位圓周的外部（|z|>1）將映到北半球。

顯然這個過程是可逆的——給定任何球面上的不為北極的點，我們連接這一點與北極，與平面恰好交與一點。

在這個球極平面投影中只北極這一點，不能對應到複數平面上任何一點。

我們將其變成一一對應，添加一個理想的點——所謂的無窮遠點——到複數平面上，使其與球面的北極對應。

複數平面添加一個無窮遠點這個拓撲空間，稱為擴充複數平面。

這就是數學家在討論複分析時為什麼說單個無窮遠點。

在實數軸上有兩個無窮遠點，但擴充複數平面上只有一個（北極）無窮遠點[6]。

想像一下球面上的經線和緯線投影到平面上會變成什麼。

平行於赤道的所有緯線，它們將變為以原點z=0為圓心的圓周；而經線將變為經過原點的直線（從而也經過無窮遠點，因為它們在球面上同時經過北極和南極）。

這不是從球面到平面惟一的球極平面投影。

例如，球面的南極點可能置於平面的原點z=0之上，球面於平面在這一點相切。

細節事實上並不重要，任何球面到平面的球極投影都將產生一個無窮遠點，球面上的緯線與經線將分別映成平面上的圓周與直線。

切割複數平面[編輯] 當討論一個複變函數時，想像「切割」複數平面經常會有方便之處。

這種想法自然出現於多種不同情境。

多值關係與分支點[編輯] 考慮簡單的二值關係 w = f ( z ) = ± z = z 1 2 . {\displaystylew=f(z)=\pm{\sqrt{z}}=z^{\frac{1}{2}}.\,} 在我們可將這個關係處理為單值函數之前，所得值域必須做些限制。

在處理實數的平方根時這是容易做到的。

例如，我們可定義 y = g ( x ) = x   = x 1 2 {\displaystyley=g(x)={\sqrt{x}}\=x^{\frac{1}{2}}\,} 為非負實數y使得y2=x。

這個想法在二維複數平面不再如此有效。

為了看出為什麼，考慮點z沿著單位圓周移動f(z)值的變化方式。

我們有 z = e i θ ⇒ w = z 1 2 = e i θ 2 ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) . {\displaystylez=e^{i\theta}\qquad\Rightarrow\qquadw=z^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{i\theta}{2}}\qquad(0\leq\theta\leq2\pi).\,} 顯然，當z沿著圓周移動一圈，w只移動半圈。

從而複數平面上一個連續運動將正平方根e0=1變為負平方根eiπ=−1。

問題之出現是由於在點z=0只有一個平方根，但其它複數z≠0都恰有兩個平方根。

在實數軸上我們在單點x=0處立一個「障礙」以避免這個問題。

在複數平面上需要更大的障礙，防止出現任何圍繞分支點（英語：branchpoint）z=0的完全迴路。

通常做法是引入一個分支切割（branchcut）；在這種情形可以從z=0起沿著正實數軸一直到無窮遠點剪開，從而在切開的平面上限制為0≤arg(z)<2π。

現在我們可以給出w=z½的一個完整描述。

為此我們需要兩個z-平面副本，每一個沿著實數軸剪開。

在一個副本上我們定義1的平方根為e0=1，而在另一個上定義1的平方根為eiπ=−1。

我們稱這兩個切開的整個平面為「片」。

由一個連續性討論，我們可以看出（非單值）函數w=z½將第一片映為上半w-平面，0≤arg(w)0時，通過與ζ(2)比較，這個和在任何有界區域上均勻收斂，這裡ζ(s)時黎曼zeta函數。

^(Wall,1948,p.39) 參考文獻[編輯] FrancisJ.Flanigan,ComplexVariables:HarmonicandAnalyticFunctions,Dover,1983ISBN0-486-61388-7. GinoMoretti,FunctionsofaComplexVariable,Prentice-Hall,Inc.,1964. H.S.Wall,AnalyticTheoryofContinuedFractions,D.VanNostrandCompany,Inc.,1948;reprinted(1973)byChelseaPublishingCompanyISBN0-8284-0207-8. E.T.WhittakerandG.N.Watson,ACourseinModernAnalysis,fourthedition,CambridgeUniversityPress,1927. 外部連結[編輯] 維基共享資源中相關的多媒體資源：複數平面 埃里克·韋斯坦因.ArgandDiagram.MathWorld.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=复平面&oldid=68835608」 分類：​複分析複數控制論隱藏分類：​含有英語的條目使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةБеларускаяবাংলাCatalàکوردیČeštinaCymraegDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیFrançaisעבריתՀայերենBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語한국어LombardNederlandsਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپنجابیPortuguêsRomânăРусскийسنڌيSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaTürkçeТатарча/tatarçaУкраїнськаTiếngViệt粵語 編輯連結