复数的几种表示形式 - Mengqi's blog

研究傅里叶变换的过程中经常要和复数打交道，经常会遇到eixe^{ix}eix 这种形式。

这里就总结一下复数的直角坐标、极坐标，以及复指数表示形式， ... 0%研究傅里叶变换的过程中经常要和复数打交道，经常会遇到eixe^{ix}eix这种形式。

这里就总结一下复数的直角坐标、极坐标，以及复指数表示形式，也有对欧拉公式的直观解释，以便更好地理解傅里叶变换。

本文中图片均来自于国立台湾师范大学资讯工程学系的演算法笔记。

一、复数的直角坐标表示首先，复数基本单位是i=−1i=\sqrt{-1}i=−1​，有了这个单位，复数空间中的每个数都可以表示为a+bia+bia+bi的形式。

其中，a被称为「实部（realpart）」，b被称为「虚部（imaginarypart）」。

复数可以在复平面（complexplane）上表示，复平面横纵坐标分别为实部和虚部，下图就是复数2+3i2+3i2+3i在复平面上的表示。

我们可以发现，这个复平面和实数空间的直角坐标系类似。

那可不可以用极坐标的方法表示复数呢？二、复数的极坐标表示事实上，复数是可以用极坐标表示的，那一个复数用极坐标表示时的长度和角度分别是多少呢？我们可以在复平面中计算出来。

例如，复数4+3i4+3i4+3i的复平面直角坐标表示是(4,3)(4,3)(4,3)，原点指向该点的向量长度r=32+42=5r=\sqrt{3^2+4^2}=5r=32+42​=5，向量的角度θ=arctan(34)\theta=arctan(\frac{3}{4})θ=arctan(43​)。

这里，复数极坐标表示的长度rrr也被称为「强度（magnitude）」，角度θ\thetaθ也被称为「相位（phase）」。

2.1由复数极坐标得到直角坐标上面我们用复数的直角坐标计算出了极坐标，那么是不是也可以由极坐标推出直角坐标呢？我们还是从复平面中来看：从上图可以看出，当我们有复数极坐标(r,θ)(r,\theta)(r,θ)时，我们可以得到其直角坐标(rcos⁡(θ),rsin⁡(θ))(r\cos(\theta),r\sin(\theta))(rcos(θ),rsin(θ))，即该复数为rcos⁡θ+r∗isin⁡θr\cos\theta+r*i\sin\thetarcosθ+r∗isinθ。

三、复数的复指数表示与欧拉公式欧拉有一天发现，神奇数字eee的纯虚数次方竟然在复数平面上绕圈！用极坐标形式表示，就是eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ。

如此，一个复数就又多了一种指数的表示形式，即复指数形式：reiθ=rcos⁡θ+r∗isin⁡θre^{i\theta}=r\cos\theta+r*i\sin\thetareiθ=rcosθ+r∗isinθ。

而当r=1r=1r=1，θ=π\theta=\piθ=π时，对应的直角坐标刚好就是(−1,0)(-1,0)(−1,0)，也就是实数-1。

由此就有了那个著名的「欧拉公式」：eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0eiπ+1=03.1复数波和实数波实数波我们比较熟悉，就是sin⁡θ\sin\thetasinθ或cos⁡θ\cos\thetacosθ形式。

而复数波则是由eiθe^{i\theta}eiθ来定义，实数波和复数波的示意图如下：从示意图中，可以看出，当俯视复数波时，观察到的投影即是一个实数波，即是eiθ=cos⁡θ+i∗sin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i*\sin\thetaeiθ=cosθ+i∗sinθ的实部：cos⁡θ\cos\thetacosθ；当从左侧侧视复数波时，得到的投影即是其虚部：sin⁡θ\sin\thetasinθ。

事实上，复数波的完整定义为：Aei(ωt+ϕ)=Aei(2πft+ϕ)=Acos⁡(2πft+ϕ)+iAsin⁡(2πft+ϕ)Ae^{i(\omegat+\phi)}=Ae^{i(2\pift+\phi)}=A\cos(2\pift+\phi)+iA\sin(2\pift+\phi)Aei(ωt+ϕ)=Aei(2πft+ϕ)=Acos(2πft+ϕ)+iAsin(2πft+ϕ)其中，AAA为振幅，ω\omegaω为角速度，fff为频率，ϕ\phiϕ为初试相位，这个波的强度（magnitude）为A=A2⋅cos⁡2(2πft+ϕ)+A2⋅sin⁡2(2πft+ϕ)A=\sqrt{A^2\cdot\cos^2(2\pift+\phi)+A^2\cdot\sin^2(2\pift+\phi)}A=A2⋅cos2(2πft+ϕ)+A2⋅sin2(2πft+ϕ)​，瞬时相位（phase）为2πft+ϕ2\pift+\phi2πft+ϕ。

由于复指数形式的复数波eiθe^{i\theta}eiθ相较于cos⁡(θ)+isin⁡(θ)\cos(\theta)+i\sin(\theta)cos(θ)+isin(θ)更简单且更易于控制，因而在信号处理中得到广泛的使用。

除此之外，eiθe^{i\theta}eiθ形式可以看作是实数波的基础，因为我们可以组合两个复数波来得到cos⁡(θ)\cos(\theta)cos(θ)和sin⁡(θ)\sin(\theta)sin(θ)：cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}cos(θ)=2eiθ+e−iθ​sin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}sin(θ)=2ieiθ−e−iθ​另外，在信号处理中，我们只需要考虑实部的线性运算，因此，在我们对一个复数波进行滤波后，得到的复数波可以分解为cos⁡\coscos和sin⁡\sinsin的形式，进而只需要选取实部所对应的cos⁡\coscos部分就行了。

在傅里叶变换中，便是将任意非周期函数分解为了各种复数波叠加的形式，因而傅里叶变换的公式中才会有类似eixe^{ix}eix的形式。

参考资料：国立台湾师范大学资讯工程学系的演算法笔记斯坦福大学JULIUSO.SMITHIII所著IntroductiontoDigitalFilterswithAudioApplications在线版本文作者：Mengqi本文链接：http://mengqi92.github.io/2015/10/06/complex/版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用BY-NC-SA许可协议。

转载请注明出处！文章目录站点概览1.一、复数的直角坐标表示2.二、复数的极坐标表示2.1.2.1由复数极坐标得到直角坐标3.三、复数的复指数表示与欧拉公式3.1.3.1复数波和实数波3.2.参考资料：MengqiHappinessonlyrealwhenshared.18日志8分类33标签Links中国哲学书电子化计划切问录Wenqi'sBlog