練功：幾種破題的看法@ linold &#39 - 隨意窩

前次，我們曾聊到求最大值、最小值，常用的相關性質： 一、算幾不等式二、柯（歌）西不等式三、一元二次函數與一元二次方程式四、指數、對數五、三角函數六、幾何（含 ... linold'sBloglinold'sBlog日誌相簿影音好友名片 200802290119練功：幾種破題的看法?講之二 前次，我們曾聊到求最大值、最小值，常用的相關性質： 一、算幾不等式 二、柯（歌）西不等式 三、一元二次函數與一元二次方程式 四、指數、對數 五、三角函數 六、幾何（含各類圖形之定義，以及其相關的定理、推廣與性質） 七、常被遺忘的連線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大於第三邊、三角形兩邊之差小於第三邊 今天，我們以一些實例來更明確認知這串觀念。

  Ｑ：設ｘ、ｙ均為正實數，若ｘ2+ ｙ2=2，求ｘｙ之最大值。

　　已知條件是相加，求相乘之最大值；或者是，已知條件是相乘，求相加之最小值。

　　建議你：優先考慮以算幾不等式破題。

　　ｘ2+ ｙ2>或=2ｘｙ=>ｘｙ之最大值為1。

　　當然，你也可以其他的解法來破題。

如 　　以柯西不等式：(ｘ2+ ｙ2)(ｙ2 +ｘ2) >或=(ｘｙ+ｙｘ)2來破題； 　　或以三角函數：ｘ=21/2cosA、ｙ=21/2sinA=>ｘｙ=2cosAsinA=sin2A來解題； 　　甚至於，令ｘｙ=ｔ，以代入消去及一元二次方程式的實根判別式來解題。

　　但都沒有以算幾不等式破題來得便利。

　　最後，我們以幾和解來＂看＂這個試題－－ 　　ｘｙ=ｋ是以Ｘ軸、Ｙ軸為漸近線的等軸雙曲線；ｘ2+ｙ2=2是以原點為圓心、半徑為根號2之圓。

　　因為ｘ、ｙ均為正實數，所以當雙曲線與圓切於(1,1)、(-1,-1)時，ｘｙ產生最大值1。

　　ps.(1,1)、(-1,-1)為貫軸之兩端點。

Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ2+ ｙ2=4，求3ｘ+4ｙ之最大值、最小值。

　　已知條件是N元平方和之值，求N元一次代數式之最大值、最小值；或者是，已知條件是 N元一次方程式，求N元平方和之最大值、最小值。

　　解題最佳捷徑是柯西不等式：(ｘ2+ ｙ2)(32 +42) >或=(3ｘ+4ｙ)2； 　　當然，你也可以其他的解法來解題。

如 　　令3ｘ+4ｙ=ｔ，以代入消去及一元二次方程式的實根判別式來解題； 　　 　　或以三角函數：ｘ=2cosA、ｙ=2sinA=>3ｘ+4ｙ=5(cosAcosB+sinAsinB)=5cos(A-B)來解題； 　　還有，取Ｌ：3ｘ+4ｙ=ｋ、Ｃ：ｘ2+ ｙ2=4，Ｌ與Ｃ相切時，ｋ產生最大值、最小值，再以圓心到切線的距離等於2，來求最大值、最小值。

　　但都沒有以柯西不等式破題來得利落。

Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ2+ ｙ2=1，求(ｘ-3)2+(ｙ-4) 2之最大值、最小值。

　　你必須先識破：｛(ｘ-3)2+(ｙ-4) 2｝1/2乃圓Ｃ：ｘ2+ ｙ2=1上之動點Ｐ(ｘ,ｙ)與 (3,4)的距離。

　　其中，圓心與 (3,4)的距離加半徑，最大；圓心與 (3,4)的距離減半徑，最小。

　　寫答案時，請記得平方。

　　 Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ2+ ｙ2=1，求(ｙ-3)／(ｘ-2)之極大值、極小值。

　　幾和解－－ 　　你必須先識破：(ｙ-3)／(ｘ-2)乃圓Ｃ：ｘ2+ ｙ2=1上之動點Ｐ(ｘ,ｙ)與 ( 2, 3)的連線之斜率。

　　當連線與Ｃ相切時，斜率產生極值，再以圓心到切線的距離等於1，來求極大值、極小值。

　　代數解－－ 　　令ｙ-3=m(ｘ-2)，以ｙ=m(ｘ-2)+3 代入ｘ2+ ｙ2=1，得ｘ的一元二次方程式；再以一元二次方程式的實根判別式來解題。

　　三角函數解－－ 　　令ｘ=cos2A、ｙ=sin2A、ｔ=tanA，以ｘ=(1-ｔ2)／(1+ｔ2)、ｙ=2ｔ／(1+ｔ2)代入(ｙ-3)／(ｘ-2)， 　　得(3ｔ2-2ｔ+3)／(3ｔ2+1)，再令此式等於ｋ，得ｔ的一元二次方程式；再以一元二次方程式的實根判別式來解題。

Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ2+ ｙ2=4，求2ｘ+ｙ2之最大值、最小值。

　　代數解－－ 　　以ｙ2= 4-ｘ2代入2ｘ+ ｙ2，得2ｘ+ 4-ｘ2=-(ｘ-1)2+5。

　　小心！ｘ有隱性條件；ｘ2 =4-ｙ2  =>ｘ之最大值為2、最小值為-2。

　　故，當ｘ=1時，2ｘ+ｙ2有最大值5；當ｘ= -2 時，2ｘ+ｙ2有最小值-4。

　　三角函數解－－ 　　令ｘ=2cosA、ｙ=2sinA，則2ｘ+ｙ2= 4cosA+4sin2A=4cosA+4(1-cos2A)= -4cos2A +4cosA+4。

　　當cosA=1/2時，-4cos2A +4cosA+4有最大值5；當cosA= -1 時，-4cos2A +4cosA+4有最小值-4。

部落格在陳述算式上，受到許多的限制；綁手綁腳的，無法盡情發揮，老人家，困在籠子裡，只能盡力而為。

希望上面這一串，在籠子裡的，提點，能給你，在最大值與最小值之觀念的釐清以及概念的建構上，提供些許之幫助。

倘若你猶蟄冬眠，願初春的暖陽，伸展你的懶腰，引你與大地、萬物相偕，共同迎接生命的新契機。

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