用导数来求极大值和极小值 - 数学乐

这是个鞍点…… 坡度变成零，但不是极大值，也不是极小值。

一定要是可微分的。

有一个重要的技术点：. 函数一定要是可微分的 （导数存在于在函数定义域里的每个点）。

用导数来求极大值和极小值 函数在哪里最高或最低？微积分可以帮助你！ 一个顺滑改变的函数的低点（级小值）或高点（极大值）是在其变成平坦的地方： （但不是所有平坦的地方都是极大值或极小值，也可以有个鞍点) 在哪里变成平坦？ 在坡度等于零的地方。

坡度在哪里等于零？ 导数可以告诉我们！ （你也许想先去阅读关于导数的内容。

） 例子：向上抛一个球。

在球离开手t秒后，它的高度是： h=3+14t−5t2 那么球最高的高度是多少？ 导数可以给我们函数的坡度： h=0+14−5(2t) =14−10t （对于这个例子你可在下面看到怎样求这个导数。

）   求坡度在哪里等于零： 14−10t=0 10t=14 t=14/10=1.4 坡度在t=1.4秒时等于零   在这个时候球的高度是： h=3+14×1.4−5×1.42 h=3+19.6−9.8=12.8 所以： 最高的高度是12.8m（当t=1.4s）   简略重温导数 其本上，导数是函数的坡度。

在以上的例子中我们用： h=3+14t−5t2 来求得这个导数： h=0+14−5(2t) =14−10t 它是函数在时间t时的坡度   有些法则可以帮助我们去求导数。

以下是一些法则： 常数t（像3）的导数是0 直线，像2x，的导数是2，14t的导数是14 平方函数，像t2的导数是2t，所以5t2的导数是5(2t)=10t 和的导数是导数的和 在这里学习更多导数法则   我们怎样知道是极大值（或极小值）？ 看图就知道！如果不看图……就用导数。

取坡度的导数（原来函数的二次导数）： 14−10t的导数是−10 这个的意思是坡度持续减小（−10）：从左到右，坡度开始是正数（函数上升），经过零（平点），然后变成负数（函数下跌）： 减小（也经过0）的坡度代表极大值。

这就是二次导数检测 上面的图显示了前后的坡度，但在实际情况下我们在坡度为零的地方检测： 二次导数检测 若函数的导数在x等于零，同时在x的二次导数是： 小于0，便是局部极大值 大于0，便是局部极小值 等于0，检测失败（但可能有其他办法） "二次导数：小于0是极大值，大于0是极小值"  例子：求以下函数的极大值和极小值： y=5x3+2x2−3x 导数（坡度）是： y=15x2+4x−3 这是个二次式，零点在： x=−3/5 x=+1/3   这两点会是极大值或极小值吗？（先别看图！）   二次导数是y''=30x+4 在x=−3/5： y''=30(−3/5)+4=−14 小于0，所以−3/5是个局部极大值 在x=+1/3： y''=30(+1/3)+4=+14 大于0，所以+1/3是个局部极小值 （现在可以看图了。

） 词汇 高点叫极大值。

低点叫极小值。

两者都叫极值。

若函数可能在别的地方有更高（或更低）的值，但在这点附近没有，我们便叫这点为局部极大值（或极小值）。

再举个例 例子：求以下的极大值和极小值： y=x3−6x2+12x−5 导数： y=3x2−12x+12 是个二次式，只在x=2有个零点 是个极大值还是极小值？   二次导数是y''=6x−12 在x=2： y''=6(2)−12=0 等于0，所以检测失败 原因是： 这是个鞍点……坡度变成零，但不是极大值，也不是极小值。

  一定要是可微分的。

有一个重要的技术点： 函数一定要是可微分的（导数存在于在函数定义域里的每个点）。

例子：函数f(x)=|x|（绝对值）   |x|的图像这样：   在x=0有个尖锐的改变！ 在x=0，这个函数是不可微分的（见可微分网页）。

因此，以上的方法不能用在绝对值函数上。

（函数也一定要是连续的，但任何可微分的函数都是连续的。

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