[問題] 請問如何證明算幾不等式？ - 精華區tutor - 批踢踢實業坊

的順序可用數學歸納法的想法得知2的冪次方的算幾不等式皆成立接下來要證三個的需要利用四個的證法如下欲證:(a+b+c)/3大於等於(abc)^(1/3) pf:首先 ... 批踢踢實業坊 › 精華區betatutor 關於我們 聯絡資訊 返回上層 作者cadets(情非得已)看板tutor標題[問題]請問如何證明算幾不等式？時間ThuMay822:18:382003 麻煩大家就是算術平均數大於等於幾何平均數 謝謝 -- 親愛的 有時候,你汲汲於追求你現在想要的 卻忽略了你真正需要的,你真正想擁有的 身邊有很多事與物..可能都被你忽略了 快仔細去想想..多看看身邊的東西.... 等到錯過了..你千萬分的後悔都來不及了 -- ※發信站:批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) ◆From:219.91.112.74 >--------------------------------------------------------------------------< 作者:hopeless(再見了我的快樂)看板:tutor 標題:Re:[問題]請問如何證明算幾不等式？ 時間:ThuMay822:24:012003 用反證吧 a+b<2[(ab)^1/2]兩邊平方 a^2+2ab+b^2<4ab4ab移到左邊 a^2-2ab+b^2<0 (a+b)^2<0 a,b屬於實數而且大於0 所以矛盾 所以可以得證算術平均數大於等於幾何平均數 -- ※發信站:批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) ◆From:203.68.107.72 >--------------------------------------------------------------------------< 作者:HCsword(下一決戰日5/12)看板:tutor 標題:Re:[問題]請問如何證明算幾不等式？ 時間:FriMay900:47:412003 應該不用反證吧.... 令根號a,b為實數，可得由根號a,b構成的算式為實數（實數的封閉性） 實數的平方為正數或零 (根號a-根號b)^2大於等於0 a+b-2根號ab大於等於0 移項 a+b大於等於2根號ab (a+b)/2大於等於根號ab 而根號a,b為實數的條件：a,b大於等於零 -- ※發信站:批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) ◆From:140.112.212.117 >--------------------------------------------------------------------------< 作者:HCsword(下一決戰日5/12)看板:tutor 標題:Re:[問題]請問如何證明算幾不等式？ 時間:FriMay900:53:322003 尚有另外一個方法，就是減減看 (a+b)/2-根號ab，配方後為(根號a-根號b)^2/2，而後討論ab的性質： 若ab小於零，則根號ab為虛數，我記得虛數是沒有大小之分的， 所以討論到大小，就有一個先決的條件是不討論虛數， 因此可得，在ab大於等於0的情形下，兩數的算幾不等式是成立的， 而在用數學歸納法，即可求得算幾不等式成立。

-- ※發信站:批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) ◆From:140.112.212.117 >--------------------------------------------------------------------------< 作者:johnwu0826(AJ八代超帥)看板:tutor 標題:Re:[問題]請問如何證明算幾不等式？ 時間:FriMay901:34:382003 算幾不等式的先決條件是 變數皆大於等於零 所以不用討論正負的問題 算幾不等式用數學歸納法證其實還蠻複雜的 在此發表一下 首先兩個變數的算幾不等式如上一位版友證的 還有一個方法是用幾何證的 太麻煩打了就先跳過 再來要證四個的算幾不等式 需要利用兩個的算幾不等式 證法如下 欲證:(a+b+c+d)/4大於等於(abcd)^(1/4) pf:(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2 大於等於{[(a+b)/2]*[(c+d)/2]}^(1/2) 大於等於{[(ab)^(1/2)]*[(cd)^(1/2)]}^(1/2) =(abcd)^(1/4) 由上可知 2的冪次方個的算幾不等式 皆可用上述方法證明 要證8個16個...都可以 但必須依照2→4→8→16→32→...的順序 可用數學歸納法的想法得知2的冪次方的算幾不等式皆成立 接下來要證三個的 需要利用四個的 證法如下 欲證:(a+b+c)/3大於等於(abc)^(1/3) pf:首先令k=(a+b+c)/3=>a+b+c=3k 則利用四個的算幾不等式可知:(a+b+c+k)/4大於等於(abck)^(1/4) =>(3k+k)/4大於等於(abck)^(1/4) =>k大於等於(abck)^(1/4) 兩邊同時四次方=>k^4大於等於abck 兩邊同約掉k=>k^3大於等於abc 兩邊同開三次方根=>k大於等於(abc)^(1/3) =>(a+b+c)/3大於等於(abc)^(1/3)得證 接下來要證五個的 證法我簡略點講 首先要令個變數k=(a+b+c+d+e)/5 接著利用8個算幾不等式可知:(a+b+c+d+e+k+k+k)/8大於等於(abcdekkk)^(1/8) 利用剛剛三個的方法慢慢化簡就可以得證 接下來證六個的 應該可以很清楚知道 首先要令變數k=(a+b+c+d+e+f)/6 接著在利用8個的算幾不等式如法炮製即可得證 證7個的也是利用8個的 再來應該可以很明顯看出 要證9個10個11個12個13個14個15個 皆須利用16個的證 因此可推得 若個數介於2^(n-1)到2^n之間的的算幾不等式 皆可用2^n個的算幾不等式證明 至於2的冪次方又都可以證出 因此再利用數學歸納法的想法 可以推得所有自然數個的算幾不等式皆成立 (以上變數皆大於等於0不在重述) -- ※發信站:批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) ◆From:211.74.5.112 →johnwu0826:sorry剛剛修改文章實好像刪掉推文了推211.74.5.11205/09 >--------------------------------------------------------------------------< 作者:rath(～魔女的條件～)看板:tutor 標題:Re:[問題]請問如何證明算幾不等式？ 時間:FriMay913:23:042003 其實可以直接從n=k證到n=k+1 -- 렠任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ -- ※發信站:批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) ◆From:210.85.78.224