極值定理- 維基百科，自由的百科全書

閉區間[a,b]上的連續函數ƒ(x)，其最大值為紅色點，最小值為藍色點。

在微積分中，極值定理說明如果實函數f在閉區間[a,b]上是連續函數，則 ... 極值定理 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 閉區間[a,b]上的連續函數ƒ(x)，其最大值為紅色點，最小值為藍色點。

在微積分中，極值定理說明如果實函數f在閉區間[a,b]上是連續函數，則它一定取得最大值和最小值，至少一次。

也就是說，存在[a,b]內的c和d，使得： f ( c ) ≥ f ( x ) ≥ f ( d ) {\displaystylef(c)\geqf(x)\geqf(d)} 對於所有 x ∈ [ a , b ] {\displaystylex\in[a,b]} 。

一個相關的定理是有界性定理，它說明閉區間[a,b]內的連續函數f在該區間上有界。

也就是說，存在實數m和M，使得： m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystylem\leqf(x)\leqM} 對於所有 x ∈ [ a , b ] {\displaystylex\in[a,b]} 。

極值定理強化了有界性定理，它表明函數不僅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

目次 1定理的證明 1.1有界性定理的證明 1.2極值定理的證明 2例子 3推廣到半連續函數 4參考文獻 5外部連結 定理的證明[編輯] 我們來證明f的上界和最大值的存在。

把這個結果應用於函數–f，也可推出f的下界和最小值的存在。

我們首先證明有界性定理，它是證明極值定理中的一個步驟。

證明極值定理的基本步驟為： 證明有界性定理。

尋找一個序列，它的像收斂於f的最小上界。

證明存在一個子序列，它收斂於定義域內的一個點。

用連續性來證明子序列的像收斂於最小上界。

有界性定理的證明[編輯] 假設函數f在區間[a,b]內連續且沒有上界。

那麼，根據實數的阿基米德公理，對於每一個自然數n，都存在[a,b]內的一個xn，使得f(xn)>n。

這便定義了一個序列{xn}。

由於[a,b]是有界的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一個收斂的子序列{ x n k {\displaystylex_{n_{k}}} }。

把它的極限記為x。

由於[a,b]是閉區間，它一定含有x。

因為f在x處連續，我們知道{f( x n k {\displaystylex_{n_{k}}} )}收斂於實數f(x)。

但對於所有的k，都有f( x n k {\displaystylex_{n_{k}}} )>nk≥k，這意味著{f( x n k {\displaystylex_{n_{k}}} )}發散於無窮大。

得出矛盾。

因此，f在[a,b]內有上界。

證畢。

極值定理的證明[編輯] 我們現在證明函數f在區間[a,b]內有最大值。

根據有界性定理，f有上界，因此，根據實數的戴德金完備性，f的最小上界M存在。

我們需要尋找[a,b]內的一個d，使得M=f(d)。

設n為一個自然數。

由於M是最小上界，M–1/n就不是f的上界。

因此，存在[a,b]內的dn，使得M–1/n