留數定理- 維基百科，自由的百科全書

在複分析中，留數定理，又叫殘數定理（英語：Residue theorem），是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。

留數定理 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 數學分析→複分析複分析 複數 實數 虛數 複平面 共軛複數 單位複數 複函數 復值函數 解析函數 全純函數 柯西-黎曼方程 形式冪級數 基本理論 零點與極點 柯西積分定理 局部原函數 柯西積分公式 卷繞數 洛朗級數 孤立奇點 留數定理 共形映射 施瓦茨引理 調和函數 拉普拉斯方程 人物 奧古斯丁-路易·柯西 萊昂哈德·歐拉 卡爾·弗里德里希·高斯 雅克·阿達馬 岡潔 波恩哈德·黎曼 卡爾·魏爾斯特拉斯 閱論編 在複分析中，留數定理，又叫殘數定理（英語：Residuetheorem），是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。

它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。

目次 1定理 2例子 2.1實軸上的積分 2.2無窮級數 3參見 4參考文獻 5外部連結 定理[編輯] 假設 U {\displaystyleU} 是複平面上的一個單連通開子集， a 1 , ⋯ , a n {\displaystylea_{1},\cdots,a_{n}} 是複平面上有限個點， f {\displaystylef} 是定義在 U ∖ a 1 , ⋯ , a n {\displaystyleU\setminus{a_{1},\cdots,a_{n}}} 的全純函數。

如果 γ {\displaystyle\gamma} 是一條把 a 1 , ⋯ , a n {\displaystylea_{1},\cdots,a_{n}} 包圍起來的可求長曲線，但不經過任何一個 a k {\displaystylea_{k}} ，並且其起點與終點重合，那麼： ∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n I ⁡ ( γ , a k ) Res ⁡ ( f , a k ) . {\displaystyle\oint_{\gamma}f(z)\,dz=2\pii\sum_{k=1}^{n}\operatorname{I}(\gamma,a_{k})\operatorname{Res}(f,a_{k}).} 如果γ是若爾當曲線，那麼I(γ,ak)=1，因此： ∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res ⁡ ( f , a k ) . {\displaystyle\oint_{\gamma}f(z)\,dz=2\pii\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,a_{k}).} 在這裡，Res(f,ak)表示f在點ak的留數，I(γ,ak)表示γ關於點ak的卷繞數。

卷繞數是一個整數，它描述了曲線γ繞過點ak的次數。

如果γ依逆時針方向繞著ak移動，卷繞數就是一個正數，如果γ根本不繞過ak，卷繞數就是零。

例子[編輯] 實軸上的積分[編輯] 以下的積分 ∫ − ∞ ∞ e i t x x 2 + 1 d x {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itx}\overx^{2}+1}\,dx} 積分路徑 在計算柯西分布的特徵函數時會出現，用初等微積分計算並不容易。

我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿著實直線從−a到a，然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到−a。

取a為大於1，使得虛數單位i包圍在曲線裡面。

路徑積分為： ∫ C f ( z ) d z = ∫ C e i t z z 2 + 1 d z . {\displaystyle\int_{C}{f(z)}\,dz=\int_{C}{e^{itz}\overz^{2}+1}\,dz.} 由於eitz是一個整函數（沒有任何奇點），這個函數僅當分母z2+1為零時才具有奇點。

由於z2+1=(z+i)(z−i)，因此這個函數在z=i或z=−i時具有奇點。

這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於f(z)是 e i t z z 2 + 1 {\displaystyle{\frac{e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!} = e i t z 2 i ( 1 z − i − 1 z + i ) {\displaystyle{}={\frac{e^{itz}}{2i}}\left({\frac{1}{z-i}}-{\frac{1}{z+i}}\right)\,\!} = e i t z 2 i 1 z − i − e i t z 2 i ( z + i ) , {\displaystyle{}={\frac{e^{itz}}{2i}}{\frac{1}{z-i}}-{\frac{e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!} f(z)在z=i的留數是： Res z = i ⁡ f ( z ) = e − t 2 i . {\displaystyle\operatorname{Res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over2i}.} 根據留數定理，我們有： ∫ C f ( z ) d z = 2 π i ⋅ Res z = i ⁡ f ( z ) = 2 π i e − t 2 i = π e − t . {\displaystyle\int_{C}f(z)\,dz=2\pii\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pii{e^{-t}\over2i}=\pie^{-t}.} 路徑C可以分為一個「直」的部分和一個曲線弧，使得： ∫ straight + ∫ arc = π e − t {\displaystyle\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pie^{-t}\,} 因此 ∫ − a a = π e − t − ∫ arc . {\displaystyle\int_{-a}^{a}=\pie^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.} 如果t>0，那麼當半圓的半徑趨於無窮大時，沿半圓路徑的積分趨於零： ∫ arc e i t z z 2 + 1 d z ≤ ∫ arc | e i t z z 2 + 1 | | d z | = ∫ arc | e i t z | | z 2 + 1 | | d z | = ∫ arc 1 | z 2 + 1 | | d z | ≤ ∫ arc 1 a 2 − 1 | d z | = π a a 2 − 1 → 0   as   a → ∞ . {\displaystyle\int_{\mbox{arc}}{e^{itz}\overz^{2}+1}\,dz\leq\int_{\mbox{arc}}\left|{e^{itz}\overz^{2}+1}\right|\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{|e^{itz}|\over|z^{2}+1|}\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{1\over|z^{2}+1|}\,|dz|\leq\int_{\mbox{arc}}{1\overa^{2}-1}\,|dz|={\frac{\pia}{a^{2}-1}}\rightarrow0\{\mbox{as}}\a\rightarrow\infty.} 上述結果也可以直接由Jordan引理（英語：Jordan%27s_lemma）得到[1]，要注意這裡的半圓弧上積分隨半徑增長趨於0必須要 t > 0 {\displaystylet>0} 才能成立，所以如果 t < 0 {\displaystylet<0} 就必須考慮下半平面上的半圓弧。

因此，如果t>0，那麼： ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − t . {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itz}\overz^{2}+1}\,dz=\pie^{-t}.} 類似地，如果曲線是繞過−i而不是i，那麼可以證明如果t<0，則 ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e t , {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itz}\overz^{2}+1}\,dz=\pie^{t},} 因此我們有： ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − | t | . {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itz}\overz^{2}+1}\,dz=\pie^{-\left|t\right|}.} （如果t=0，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為π。

） 無窮級數[編輯] 由於 π cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle\pi\cot(\piz)} 在 z {\displaystylez} 為整數時皆為一階極點，並且留數皆為 1 {\displaystyle1} ，因此可以用來計算如下所示級數： ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) {\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)} 在此處令 f ( z ) = z − 2 {\displaystylef(z)=z^{-2}} ，並且令 Γ N {\displaystyle\Gamma_{N}} 為 [ − N − 1 2 , N + 1 2 ] 2 {\displaystyle\left[-N-{\frac{1}{2}},N+{\frac{1}{2}}\right]^{2}} 的正方形正向（逆時針）圍道（其中 N {\displaystyleN} 為整數），於是依留數定理： 1 2 π i ∫ Γ N f ( z ) π cot ⁡ ( π z ) d z = 1 2 π i ∫ Γ N π cot ⁡ ( π z ) z 2 d z = Res z = 0 + ∑ n = − N N n ≠ 0 1 n 2 {\displaystyle{\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}}\int_{\Gamma_{N}}f(z)\pi\cot(\piz)\mathrm{d}z={\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}}\int_{\Gamma_{N}}{\frac{\pi\cot(\piz)}{z^{2}}}\mathrm{d}z=\operatorname{Res}_{z=0}+{\underset{n\neq0}{\sum_{n=-N}^{N}}}{\frac{1}{n^{2}}}} 當 N → ∞ {\displaystyleN\to\infty} 時，等式左側由於 O ( n − 2 ) {\displaystyleO(n^{-2})} 而趨於零；另一方面： z 2 cot ⁡ z 2 = 1 − B 2 z 2 2 ! + ⋯ = 1 − z 2 12 + ⋯ {\displaystyle{\frac{z}{2}}\cot{\frac{z}{2}}=1-{\frac{B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots=1-{\frac{z^{2}}{12}}+\cdots} 其中有伯努利數 B 2 = 1 6 {\displaystyleB_{2}={\frac{1}{6}}} 。

（實際上有 z 2 cot ⁡ z 2 = i z 1 − e − i z − i z 2 {\displaystyle{\frac{z}{2}}\cot{\frac{z}{2}}={\frac{\mathrm{i}z}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}}-{\frac{\mathrm{i}z}{2}}} ）因此， Res z = 0 = − π 2 3 {\displaystyle\operatorname{Res}_{z=0}=-{\frac{\pi^{2}}{3}}} ，可以得出： ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}={\frac{\pi^{2}}{6}}} 即為巴塞爾問題的證明之一。

參見[編輯] 留數 路徑積分 莫雷拉定理 傅立葉變換 拉普拉斯變換 參考文獻[編輯] ^史濟懷;劉太順.复变函数.合肥:中國科學技術大學出版社.1998-12-01.ISBN 9787312009990.  Ahlfors,Lars,ComplexAnalysis,McGrawHill,1979,ISBN 0-07-085008-9  Mitronivić,Dragoslav;Kečkić,Jovan,TheCauchymethodofresidues:Theoryandapplications,D.ReidelPublishingCompany,1984,ISBN 90-277-1623-4  Lindelöf,Ernst,Lecalculdesrésidusetsesapplicationsàlathéoriedesfonctions,EditionsJacquesGabay,19051989,ISBN 2-87647-060-8  外部連結[編輯] Mathworld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） JohnH.Mathews所作的留數定理教程 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=留数定理&oldid=71169170」 分類：​複分析數學定理隱藏分類：​含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 CymraegDeutschEnglishEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתहिन्दीMagyarItalianoҚазақшаNederlandsPolskiPortuguêsРусскийСрпски/srpskiSvenskaTürkçeУкраїнська 編輯連結