算術-幾何平均值不等式- 維基百科，自由的百科全書

算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現算術平均 ... 不等式並不容易證明。

1729年，英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明，用的 ... 算術-幾何平均值不等式 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。

設 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystylex_{1},x_{2},\ldots,x_{n}} 為 n {\displaystylen} 個正實數，它們的算術平均數是 A n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle\mathbf{A}_{n}={\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}}} ，它們的幾何平均數是 G n = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n {\displaystyle\mathbf{G}_{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n}}}} 。

算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數 x 1 , … , x n {\displaystylex_{1},\ldots,x_{n}} ： A n ≥ G n {\displaystyle\mathbf{A}_{n}\geq\mathbf{G}_{n}} 等號成立若且唯若 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystylex_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}} 。

算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。

算術-幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式（或均值不等式），其實後者是一組更廣泛的不等式。

目次 1例子 2歷史上的證明 2.1柯西的證明 2.2歸納法的證明 2.3基於琴生不等式的證明 2.4基於排序不等式的證明 3推廣 3.1加權算術-幾何平均不等式 3.2矩陣形式 3.3極限形式 3.4算數-幾何-調和平均值不等式 4參見 5參考來源 例子[編輯] 在 n = 4 {\displaystylen=4} 的情況，設: x 1 = 3.5 ,   x 2 = 6.2 ,   x 3 = 8.4 ,   x 4 = 5 {\displaystylex_{1}=3.5,\x_{2}=6.2,\x_{3}=8.4,\x_{4}=5} ， 那麼 A 4 = 3.5 + 6.2 + 8.4 + 5 4 = 5.775 ,   G 4 = 3.5 × 6.2 × 8.4 × 5 4 ≈ 5.4945 {\displaystyle\mathbf{A}_{4}={\frac{3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\\mathbf{G}_{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times6.2\times8.4\times5}}\approx5.4945} 可見 A 4 ≥ G 4 {\displaystyle\mathbf{A}_{4}\geq\mathbf{G}_{4}} 。

歷史上的證明[編輯] 歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。

n = 2 {\displaystylen=2} 的情況很早就為人所知，但對於一般的 n {\displaystylen} ，不等式並不容易證明。

1729年，英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。

柯西的證明[編輯] 1821年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明[1]： 命題 P n {\displaystyleP_{n}} ：對任意的 n {\displaystylen} 個正實數 x 1 , … , x n {\displaystylex_{1},\ldots,x_{n}} ， A n ≥ G n {\displaystyle\mathbf{A}_{n}\geq\mathbf{G}_{n}} 當 n = 2 {\displaystylen=2} 時， P 2 {\displaystyleP_{2}} 顯然成立。

假設 P n {\displaystyleP_{n}} 成立，那麼 P 2 n {\displaystyleP_{2n}} 成立。

證明：對於 2 n {\displaystyle2n} 個正實數 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n {\displaystylex_{1},\cdots,x_{n},y_{1},\cdots,y_{n}} ， x 1 + x 2 + ⋯ + x n + y 1 + ⋯ y n 2 n =   1 2 ( x 1 + ⋯ + x n n + y 1 + ⋯ + y n n ) {\displaystyle{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+y_{1}+\cdotsy_{n}}{2n}}=\{\frac{1}{2}}\left({\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n}}+{\frac{y_{1}+\cdots+y_{n}}{n}}\right)} ≥   1 2 ( x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n + y 1 ⋅ y 2 ⋯ y n n ) ≥   x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n ⋅ y 1 ⋅ y 2 ⋯ y n n {\displaystyle\geq\{\frac{1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdoty_{2}\cdotsy_{n}}}\right)\geq\{\sqrt{{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n}}}\cdot{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdoty_{2}\cdotsy_{n}}}}}} =   x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n y 1 ⋅ y 2 ⋯ y n 2 n {\displaystyle=\{\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n}y_{1}\cdoty_{2}\cdotsy_{n}}}} 假設 P n {\displaystyleP_{n}} 成立，那麼 P n − 1 {\displaystyleP_{n-1}} 成立。

證明：對於 n − 1 {\displaystylen-1} 個正實數 x 1 , ⋯ , x n − 1 {\displaystylex_{1},\cdots,x_{n-1}} ，設 A n − 1 = x 1 + ⋯ + x n − 1 n − 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n-1}={\frac{x_{1}+\cdots+x_{n-1}}{n-1}}} ， G n − 1 = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n − 1 n − 1 {\displaystyle\mathbf{G}_{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n-1}}}} ，那麼由於 P n {\displaystyleP_{n}} 成立， x 1 + ⋯ + x n − 1 + A n − 1 n ≥ x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n − 1 A n − 1 n {\displaystyle{\frac{x_{1}+\cdots+x_{n-1}+\mathbf{A}_{n-1}}{n}}\geq{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n-1}\mathbf{A}_{n-1}}}} 。

但是 x 1 + ⋯ + x n − 1 = ( n − 1 ) A n − 1 {\displaystylex_{1}+\cdots+x_{n-1}=(n-1)\mathbf{A}_{n-1}} ， x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n − 1 = G n − 1 n − 1 {\displaystylex_{1}\cdotx_{2}\cdotsx_{n-1}=\mathbf{G}_{n-1}^{n-1}} ，因此上式正好變成 A n − 1 n ≥ G n − 1 n − 1 A n − 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n-1}^{n}\geq\mathbf{G}_{n-1}^{n-1}\mathbf{A}_{n-1}} 也就是說 A n − 1 ≥ G n − 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n-1}\geq\mathbf{G}_{n-1}} 綜上可以得到結論：對任意的自然數 n ≥ 2 {\displaystylen\geq2} ，命題 P n {\displaystyleP_{n}} 都成立。

這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數 k {\displaystylek} ，命題 P 2 k {\displaystyleP_{2^{k}}} 都成立。

因此對任意的 n ≥ 2 {\displaystylen\geq2} ，可以先找 k {\displaystylek} 使得 2 k ≥ n {\displaystyle2^{k}\geqn} ，再結合第三條就可以得到命題 P n {\displaystyleP_{n}} 成立了。

歸納法的證明[編輯] 使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（英語：GeorgeChrystal）（GeorgeChrystal）在其著作《代數論》（Algebra）的第二卷中給出的[2]： 由對稱性不妨設 x n + 1 {\displaystylex_{n+1}} 是 x 1 , x 2 ⋯ x n + 1 {\displaystylex_{1},x_{2}\cdotsx_{n+1}} 中最大的，由於 A n + 1 = n A n + x n + 1 n + 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n+1}={\frac{n\mathbf{A}_{n}+x_{n+1}}{n+1}}} ，設 x n + 1 = A n + b {\displaystylex_{n+1}=\mathbf{A}_{n}+b} ，則 b ≥ 0 {\displaystyleb\geq0} ，並且有 A n + 1 = A n + b n + 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n+1}=\mathbf{A}_{n}+{\frac{b}{n+1}}} 。

根據二項式定理， A n + 1 n + 1 = ( A n + b n + 1 ) n + 1 ≥ A n n + 1 + ( n + 1 ) A n n b n + 1 = A n n ( A n + b ) = A n n x n + 1 ≥ G n n x n + 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n+1}^{n+1}=(\mathbf{A}_{n}+{\frac{b}{n+1}})^{n+1}\geq\mathbf{A}_{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf{A}_{n}^{n}{\frac{b}{n+1}}=\mathbf{A}_{n}^{n}(\mathbf{A}_{n}+b)=\mathbf{A}_{n}^{n}x_{n+1}\geq\mathbf{G}_{n}^{n}x_{n+1}} = x 1 x 2 ⋯ x n + 1 = G n + 1 n + 1 {\displaystyle=x_{1}x_{2}\cdotsx_{n+1}=\mathbf{G}_{n+1}^{n+1}} 於是完成了從 n {\displaystylen} 到 n + 1 {\displaystylen+1} 的證明。

此外還有更簡潔的歸納法證明[3]： 在 n {\displaystylen} 的情況下有不等式 A n ≥ G n {\displaystyle\mathbf{A}_{n}\geq\mathbf{G}_{n}} 和 x n + 1 + ( n − 1 ) G n + 1 ≥ n x n + 1 G n + 1 n − 1 n {\displaystylex_{n+1}+(n-1)\mathbf{G}_{n+1}\geqn{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf{G}_{n+1}^{n-1}}}} 成立，於是： x 1 + x 2 ⋯ + x n + x n + 1 + ( n − 1 ) G n + 1 n ≥ G n + x n + 1 G n + 1 n − 1 n ≥ 2 G n n x n + 1 G n + 1 n − 1 2 n = 2 G n + 1 {\displaystyle{\frac{x_{1}+x_{2}\cdots+x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf{G}_{n+1}}{n}}\geq\mathbf{G}_{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf{G}_{n+1}^{n-1}}}\geq2{\sqrt[{2n}]{\mathbf{G}_{n}^{n}x_{n+1}\mathbf{G}_{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf{G}_{n+1}} 所以 ( n + 1 ) A n + 1 = x 1 + x 2 ⋯ + x n + x n + 1 ≥ 2 n G n + 1 − ( n − 1 ) G n + 1 = ( n + 1 ) G n + 1 {\displaystyle(n+1)\mathbf{A}_{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots+x_{n}+x_{n+1}\geq2n\mathbf{G}_{n+1}-(n-1)\mathbf{G}_{n+1}=(n+1)\mathbf{G}_{n+1}} ，從而有 A n + 1 ≥ G n + 1 {\displaystyle\mathbf{A}_{n+1}\geq\mathbf{G}_{n+1}} 。

基於琴生不等式的證明[編輯] 注意到幾何平均數 G n {\displaystyle\mathbf{G}_{n}} 實際上等於 exp ⁡ ( ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n ) {\displaystyle\exp\left({\frac{\ln{x_{1}}+\ln{x_{2}}+\cdots+\ln{x_{n}}}{n}}\right)} ，因此算術-幾何平均不等式等價於： ln ⁡ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n {\displaystyle\ln{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}}\geq{\frac{\ln{x_{1}}+\ln{x_{2}}+\cdots+\ln{x_{n}}}{n}}} 。

由於對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

基於排序不等式的證明[編輯] 令 b i = a i G n ( i = 1 , 2 , 3 , . . . , n ) {\displaystyleb_{i}={\frac{a_{i}}{{\mathbf{G}}_{n}}}(i=1,2,3,...,n)} ，於是有 b 1 b 2 ⋯ b n = 1 {\displaystyleb_{1}b_{2}\cdotsb_{n}=1} ，再作代換 b 1 = c 1 c 2 , b 2 = c 2 c 3 , ⋯ , b n = c n c 1 {\displaystyleb_{1}={\frac{c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac{c_{2}}{c_{3}}},\cdots,b_{n}={\frac{c_{n}}{c_{1}}}} ，運用排序不等式得到： c 1 c 2 + c 2 c 3 + ⋯ + c n c 1 ⩾ c 1 c 1 + c 2 c 2 + . . . + c n c n = n {\displaystyle{\frac{c_{1}}{c_{2}}}+{\frac{c_{2}}{c_{3}}}+\cdots+{\frac{c_{n}}{c_{1}}}\geqslant{\frac{c_{1}}{c_{1}}}+{\frac{c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac{c_{n}}{c_{n}}}=n} ， 於是得到 a 1 + a 2 + ⋯ + a n ⩾ n G n {\displaystylea_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\geqslantn{\mathbf{G}}_{n}} ，即原不等式成立。

此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。

推廣[編輯] 算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

加權算術-幾何平均不等式[編輯] 不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。

設 x 1 , ⋯ , x n {\displaystylex_{1},\cdots,x_{n}} 和 p 1 , ⋯ , p n {\displaystylep_{1},\cdots,p_{n}} 為正實數，並且 p 1 + p 2 ⋯ + p n = 1 {\displaystylep_{1}+p_{2}\cdots+p_{n}=1} ，那麼： p 1 x 1 + p 2 x 2 ⋯ + p n x n ≥ x 1 p 1 x 2 p 2 ⋯ x n p n {\displaystylep_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots+p_{n}x_{n}\geqx_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdotsx_{n}^{p_{n}}} 。

加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩陣形式[編輯] 算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。

對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對於係數都是正實數的矩陣 [ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n k ] {\displaystyle{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nk}\end{bmatrix}}} 設 A j = 1 n ∑ i = 1 n a i j {\displaystyleA_{j}={\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}} ， G i = ∏ j = 1 k a i j k {\displaystyleG_{i}={\sqrt[{k}]{\prod_{j=1}^{k}a_{ij}}}} ，那麼有： A 1 A 2 ⋯ A k k ⩽ G 1 + G 2 + ⋯ + G n n {\displaystyle{\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdotsA_{k}}}\leqslant{\frac{G_{1}+G_{2}+\cdots+G_{n}}{n}}} 也就是說：對 k {\displaystylek} 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均小於等於對 n {\displaystylen} 個橫行取的 n {\displaystylen} 個幾何平均數的算術平均。

極限形式[編輯] 也稱為積分形式：對任意在區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 上可積的正值函數 f {\displaystylef} ，都有 ∫ 0 1 f ( x ) d x ≥ exp ⁡ ( ∫ 0 1 ln ⁡ f ( x ) d x ) {\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx\geq\exp(\int_{0}^{1}\lnf(x)dx)} 這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成 x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ exp ⁡ ( ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n ) {\displaystyle{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}}\geq\exp({\frac{\ln{x_{1}}+\ln{x_{2}}+\cdots+\ln{x_{n}}}{n}})} 後，將兩邊的黎曼和中的 n {\displaystylen} 趨於無窮大後得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式[編輯] 若再規定 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystylex_{1},x_{2},\ldots,x_{n}} 的調和平均數 H = n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n . {\displaystyleH={\frac{n}{{\frac{1}{x_{1}}}+{\frac{1}{x_{2}}}+...+{\frac{1}{x_{n}}}}}.} 則有 A n ≥ G n ≥ H n {\displaystyle\mathbf{A}_{n}\geq\mathbf{G}_{n}\geq\mathbf{H}_{n}} 且等號依舊成立若且唯若 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystylex_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}} 。

證明由算數-幾何平均值不等式知 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n n ≥ 1 x 1 1 x 2 ⋯ 1 x n n = 1 x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle{\frac{{\frac{1}{x_{1}}}+{\frac{1}{x_{2}}}+...+{\frac{1}{x_{n}}}}{n}}\geq{\sqrt[{n}]{{\frac{1}{x_{1}}}{\frac{1}{x_{2}}}\cdots{\frac{1}{x_{n}}}}}={\frac{1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}}}}} 故 x 1 x 2 ⋯ x n n ≥ n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}}}\geq{\frac{n}{{\frac{1}{x_{1}}}+{\frac{1}{x_{2}}}+...+{\frac{1}{x_{n}}}}}} 即 G n ≥ H n {\displaystyle\mathbf{G}_{n}\geq\mathbf{H}_{n}} 且等號成立於 1 x 1 = 1 x 2 = ⋯ = 1 x n {\displaystyle{\frac{1}{x_{1}}}={\frac{1}{x_{2}}}=\cdots={\frac{1}{x_{n}}}} 即 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystylex_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}} 參見[編輯] 平均數不等式 算術平均數 幾何平均數 冪平均不等式 楊氏不等式 參考來源[編輯] ^Augustin-LouisCauchy,Coursd'analysedel'ÉcoleRoyalePolytechnique,premierpartie,Analysealgébrique,（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）Paris,1821.p457. ^GeorgeChrystal,Algebra:AnElementaryText-Book,PartII,ChapterXXIV.p46. ^P.H.Diananda,ASimpleProofoftheArithmeticMeanGeometricMeanInequality,TheAmericanMathematicalMonthly,Vol.67,No.10(Dec.,1960),pp.1007 匡繼昌，《常用不等式》，山東科技出版社。

李勝宏，《平均不等式與柯西不等式》，華東師大出版社。

莫里斯·克萊因（MorrisKline），張理京張錦炎江澤涵譯，《古今數學思想》，上海科學技術出版社。

李興懷，《學科奧林匹克叢書·高中數學》，廣東教育出版社。

取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=算术-几何平均值不等式&oldid=68192414」 分類：​代數不等式代數平均數 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 CatalàČeštinaDeutschEnglishEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתहिन्दीMagyarItaliano한국어PolskiPortuguêsRomânăРусскийதமிழ்УкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt文言 編輯連結