算幾不等式 - 科學Online

在高中數學的範疇中，「算幾不等式」是一個常用的基本不等式，在證明不等式的題目中，我們經常藉助它來論證命題。

而國中的幾何變動量所討論的「等周長 ... Sunday24thApril2022 24-Apr-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 算幾不等式(ArithmeticandGeometricMeanInequalityoftwopositivenumbers) 國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯 在高中數學的範疇中，「算幾不等式」是一個常用的基本不等式，在證明不等式的題目中，我們經常藉助它來論證命題。

而國中的幾何變動量所討論的「等周長的矩形以正方形的面積為最大」，就蘊涵算幾不等式的幾何意義。

設矩形的長為\(a\)、寬為\(b\)，整理可得代數式： 設\(a,b\)為正實數，則\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，其中等號成立的充要條件為\(a=b\)。

\(\frac{a+b}{2}\)、\(\sqrt{ab}\)分別稱為算術平均數（arithmeticmean）、幾何平均數（geometricmean），\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)簡稱為算幾不等式。

不等式的證明相當有趣，因為其證明的方法靈活多樣化，底下介紹算幾不等式的一些證明方式： 證明一：差值比較法 \(\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\geq{0}\)， 故\(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\Longleftrightarrow\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}=0\Longleftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\Longleftrightarrow{a}={b}\)， 所以等號成立於\(a=b\)。

證明二：由柯西不等式得知， \((\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2)(1^2+1^2)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\)， \(2(a+b)\geq{a}+b+2\sqrt{ab}\)，\(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

且等式成立時，\(\sqrt{a}:\sqrt{b}=1:1\)，即\(a=b\)時。

令\(a=2^{a_1},b=2^{a_2}\)， \(\displaystyle\frac{2^{a_1}+2^{a_2}}{2}\geq{2}^{\frac{a_1+a_2}{2}}=\sqrt{2^{a_1+a_2}}\)，所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\) 證明三的圖形是最常見的，再繼續作圖可得 調和平均數（harmonicmean）\(\frac{2ab}{a+b}\)與平方平均數（rootmeansquare）\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\) 即：平方平均數＞算術平均數＞幾何平均數＞調和平均數 至於證明七的\(y=2^x\)圖形若改成\(y=\log\)， 則同理可得\(\log(\frac{a+b}{2})\geq\frac{\log{a}+\log{b}}{2}\)即\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

最後，算幾不等式推廣到\(n\)個正實數的情形： 對任意正實數\(x_1,x_2,x_3,\mbox{…},x_n\)，\({\frac{x_1+x_2+x_3+\mbox{…}+x_n}{n}}\geq\sqrt[n]{x_1x_2x_3{\mbox{…}x_n}}\)恆成立。

其中等號成立的充要條件為\(x_1=x_2=x_3=\mbox{…}=x_n\)。

參考資料 RogerB.Nelsen(1993).ProofsWithoutWords:ExercisesinVisualThinking.Washington,DC:MAA。

張鎮華(2002).〈算幾不等式面面觀〉，《數學傳播》26卷2期。

黃毅英(1994).〈從算術幾何平均不等式看數學解題中的一題多解〉，《數學傳播》18卷4期。

Tags:Arithmetic,Geometric,不等式,算幾不等式 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 海芭夏(HypatiaofAlexandria) Thereare5commentsforthisarticle 平方平均數的圖有問題。

說明清楚詳細易懂 證明方式多元使人學習更透徹 對高中生很有幫助 發現了好網頁:) 證明8的b太短了，應該是OP+半徑 才能用圓冪定理知PT=√ab 另外，半徑是(b-a)/2，不是(a+b)/2 反而是OP=(a+b)/2 證明3的咖啡色長應該是(a+b)^2/[4√(ab)]，而不是√[(a^2+b^2)/2] 平方平均數的位置有誤 文末最後一張圖片中，長度標示為[(a^2+b^2)/2]^(1/2)的橘色線段，應不是與圓中的直徑垂直。

而是由切點延長線段使長度為(a-b)/2，再與圓心連接，所得才是正確的橘色線段。

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