4.1極值之定義及均值定理

同理可定義相對極小值。

有時我們只說相對極大或相對極小，而省略『值』。

相對極大與相對極小合稱相對極值。

若 ... 極值之定義及均值定理  a         微分最大的應用之一便是用來協助求一函數的極大值或極小值。

許多應用問題中的求最佳解，常可轉換為求一函數的極大值或極小值的問題。

       極大值有兩種，一種是我們在第一章『連續性之進一步探討』討論過的絕對極大值。

在一集合中，若存在一，使得 ， 則稱在有絕對極大值。

絕對極小值亦可類似地定義。

若為在中之絕對極大值，為之一子集合，且，則顯然亦為在中之絕對極大值。

另一種極值是相對極值，其定義如下。

 a 定義. 設為一定義在集合中之實值函數，又設。

若存在一包含之開區間，使得 ， 則稱在有相對極大值。

 a          同理可定義相對極小值。

       有時我們只說相對極大或相對極小，而省略『值』。

相對極大與相對極小合稱相對極值。

若一數為函數在中之一相對極值，則稱此數為之一極值。

在此定義中，為極值發生處，而為一極值。

絕對極大及絕對極小合稱絕對極值。

可看出每一絕對極值皆為一相對極值。

  a 定理. 設為定義在一開區間，且在有相對極值。

若存在，則。

 a 系理.  設在有極值，則必有下述三種情形之一發生： （1）存在且為 0， （2）不存在， （3）為邊界點。

 a         因每一絕對極值亦為一相對極值，此系理也適用絕對極值的情況。

不過，此系理之逆不真，即有可能（1）、（2）或（3）中有一成立，但在卻無極值。

如，若，，故。

但為一漸增函數，因此在0 無極值。

        此系理亦指出導數不存在處，有可能發生在極值。

例如，設，則在 不可微，但在0卻有一相對極小 (也是絕對極小)。

  a 定理. (Rolle定理)設在閉區間連續，且，則在中有臨界點。

  a 定理. 設在閉區間連續，在開區間可微，又設 。

則至少有一，使得。

 a        在此系理之假設下，於中必有一點，使得在之切線為水平，見下圖。

  a 例 1.對下述各函數及區間， 試驗證是否有臨界點存在。

（1） ， （2） 。

       a 定理.  (微分的均值定理)設在閉區間連續，在開區間可微。

則至少有一，使得 。

  a         均值定理只是保證之存在，並未能指出在何處。

對有些函數，往往值並不易求出。

不過本定理的重要性在於的存在，利用此性質可得到另一些我們所想要的結果，而並不需要知道之確切的值。

又要提醒讀者的是，在使用本定理時，若並非在 可微，便不一定適用了。

例如，為一連續函數，且除了在外皆連續。

但並不存在一 ，使得   。

  a 定理.   (柯西均值定理)設二函數、均在閉區間連續，在開區間 可微。

則至少有一，使得 。

  a 例 2.對下述各函數及區間，試驗證均值定理是否成立。

（1） ， （2） 。

     a 例 3.試證 。

      a         最後本單元我們來看均值定理之另一應用。

欲求 之導數。

此為一到處可微,但導數不一定連續之例。

事實上，因 故 除了在外皆連續，且 及 皆不存在。

底下為一判別導數之連續性的結果。

  a 定理.  設函數在 之一鄰域 中連續，且存在， 。

又設 存在。

則 存在且等於 ，即此時 在連續。

  a 定理.  設在連續，在可微，且 。

則 。

  a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 極值之定義及均值定理。

微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。