柯西-施瓦茨不等式- 維基百科，自由的百科全書

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積 ... 柯西-施瓦茨不等式 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和機率論的變異數和共變異數。

它被認為是最重要的數學不等式之一。

它有一些推廣，如赫爾德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（AugustinLouisCauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（HermannAmandusSchwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（英語：Viktor_Bunyakovsky）（ВикторЯковлевичБуняковский）命名。

目次 1敘述 2特例 3矩陣不等式 4複變函數中的柯西不等式 5其它推廣 6參見 7注釋 8參考資料 敘述[編輯] 對於一個內積空間中的向量x和y，有 | ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle{\big|}\langlex,y\rangle{\big|}^{2}\leq\langlex,x\rangle\cdot\langley,y\rangle} 。

其中 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle\langle\cdot,\cdot\rangle} 表示內積，也叫點積。

等價地，將兩邊開方，等式右邊即可以寫為兩向量範數乘積的形式。

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ . {\displaystyle|\langlex,y\rangle|\leq\|x\|\cdot\|y\|.\,} 另外，若且唯若x和y線性相依時，等式成立（僅兩個向量而言，線性相依等同於平行）。

若 x 1 , … , x n ∈ C {\displaystylex_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{C}} 和 y 1 , … , y n ∈ C {\displaystyley_{1},\ldots,y_{n}\in\mathbb{C}} 有虛部，內積即為標準內積。

如果用拔（bar，上劃線）標記共軛複數，這個不等式可以更明確地表述為 | x 1 y ¯ 1 + ⋯ + x n y ¯ n | 2 ≤ ( | x 1 | 2 + ⋯ + | x n | 2 ) ( | y 1 | 2 + ⋯ + | y n | 2 ) . {\displaystyle|x_{1}{\bar{y}}_{1}+\cdots+x_{n}{\bar{y}}_{n}|^{2}\leq(|x_{1}|^{2}+\cdots+|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots+|y_{n}|^{2}).} 由柯西—施瓦茨不等式可以推得一個重要結果：內積是連續的，甚至滿足一階利普希茨條件。

特例[編輯] 對歐幾里得空間Rn，有 ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) {\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)} 。

等式成立時： x 1 y 1 = x 2 y 2 = ⋯ = x n y n . {\displaystyle{\frac{x_{1}}{y_{1}}}={\frac{x_{2}}{y_{2}}}=\cdots={\frac{x_{n}}{y_{n}}}.} 也可以表示成 ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y n 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n ) 2 {\displaystyle(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})\geq(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n})^{2}} 證明則須考慮一個關於 t {\displaystylet} 的一個一元二次方程式 ( x 1 t + y 1 ) 2 + ⋯ + ( x n t + y n ) 2 = 0 {\displaystyle(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots+(x_{n}t+y_{n})^{2}=0} 很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式 D ≤ 0 {\displaystyleD\leq0} 注意到 ( x 1 t + y 1 ) 2 + ⋯ + ( x n t + y n ) 2 ≥ 0 {\displaystyle(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots+(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq0} ⇒ ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) t 2 + 2 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n ) t + ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y n 2 ) ≥ 0 {\displaystyle(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})\geq0} 則 D = 4 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n ) 2 − 4 ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y n 2 ) ≤ 0 {\displaystyleD=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})\leq0} 即 ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y n 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n ) 2 {\displaystyle(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})\geq(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n})^{2}} ( x 1 t + y 1 ) 2 + ⋯ + ( x n t + y n ) 2 = 0 {\displaystyle(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots+(x_{n}t+y_{n})^{2}=0} ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y n 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n ) 2 {\displaystyle(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})\geq(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n})^{2}} 而等號成立於判別式 D = 0 {\displaystyleD=0} 時 也就是此時方程式有重根，故 x 1 y 1 = x 2 y 2 = ⋯ = x n y n . {\displaystyle{\frac{x_{1}}{y_{1}}}={\frac{x_{2}}{y_{2}}}=\cdots={\frac{x_{n}}{y_{n}}}.} 對平方可積的複值函數，有 | ∫ f ∗ ( x ) g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x {\displaystyle\left|\intf^{*}(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq\int\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot\int\left|g(x)\right|^{2}\,dx} 。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式 ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ = | ⟨ x , y ⟩ | 2 + | x × y | 2 {\displaystyle\langlex,x\rangle\cdot\langley,y\rangle=|\langlex,y\rangle|^{2}+|x\timesy|^{2}} 。

這是 ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 = ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) − ( ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( x i y j − x j y i ) 2 ) {\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum_{1\leqi 0 {\displaystyleA>0} ，則 | x ∗ y | 2 ≤ x ∗ A x ⋅ y ∗ A − 1 y {\displaystyle|x^{*}y|^{2}\leqx^{*}Ax\cdoty^{*}A^{-1}y} 存在 A 1 / 2 , A − 1 / 2 {\displaystyleA^{1/2},A^{-1/2}} ，設 u = A 1 / 2 x , v = A − 1 / 2 y {\displaystyleu=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y} | u ∗ v | 2 ≤ u ∗ u ⋅ v ∗ v {\displaystyle|u^{*}v|^{2}\lequ^{*}u\cdotv^{*}v} | x ∗ A 1 / 2 A − 1 / 2 y | 2 ≤ x ∗ A 1 / 2 A 1 / 2 x ⋅ y ∗ A − 1 / 2 A − 1 / 2 y {\displaystyle|x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leqx^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdoty^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y} | x ∗ y | 2 ≤ x ∗ A x ⋅ y ∗ A − 1 y {\displaystyle|x^{*}y|^{2}\leqx^{*}Ax\cdoty^{*}A^{-1}y} 等號成立 ⇔ x {\displaystyle\Leftrightarrowx} 與 A − 1 y {\displaystyleA^{-1}y} 線性相依[1] 若 q i ≥ 0 , ∑ i q i = 1 {\displaystyle\displaystyleq_{i}\geq0,\sum_{i}q_{i}=1} ，則 ( x ∗ A ∑ i a i q i x ) ≤ ∏ i ( x ∗ A a i x ) q i {\displaystyle\displaystyle(x^{*}A^{\sum_{i}a_{i}q_{i}}x)\leq\prod_{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}} [2] 複變函數中的柯西不等式[編輯] 設 f ( z ) {\displaystylef(z)} 在區域D及其邊界上解析， a {\displaystylea} 為D內一點，以 a {\displaystylea} 為圓心做圓周 C R : | z − a | = R {\displaystyleC_{R}:|z-a|=R} ，只要 C R {\displaystyleC_{R}} 及其內部G均被D包含，則有： | f ( n ) ( z 0 ) | ≤ n ! M R n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) {\displaystyle\left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq{\frac{n!M}{R^{n}}}\qquad(n=1,2,3,...)} 其中，M是 | f ( z ) | {\displaystyle|f(z)|} 的最大值， M = max | x − a | ∈ R | f ( x ) | {\displaystyleM=\max\limits_{|x-a|\inR}|f(x)|} 。

其它推廣[編輯] ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 m a i j ) 2 ≤ ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n a i j 2 {\displaystyle{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq\sum_{j=1}^{m}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}} [3] m ≥ α > 0 , ( ∑ i = 1 n ∏ j = 1 m a i j ) α ≤ ∏ j = 1 m ∑ i = 1 n a i j α {\displaystylem\geq\alpha>0,(\sum_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha}\leq\prod_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha}} [4] 參見[編輯] 三角不等式 內積空間 注釋[編輯] ^ x ∗ {\displaystylex^{*}} 表示x的共軛轉置。

參考資料[編輯] ^王松桂.矩阵不等式-(第二版).  ^程偉麗齊靜.Cauchy不等式矩阵形式的推广.鄭州輕工業學院學報(自然科學版).2008,(4)[2015-03-24].（原始內容存檔於2019-06-08）.  ^趙明方.Cauchy不等式的推广.四川師範大學學報(自然科學版).1981,(2)[2015-03-24].（原始內容存檔於2019-06-03）.  ^洪勇.推广的Cauchy不等式的再推广.曲靖師範學院學報.1993,(S1)[2015-03-24].（原始內容存檔於2019-06-03）.  閱論編泛函分析集合 /子集 絕對凸集 吸收集 平衡集 有界集(拓撲向量空間)（英語：Boundedset(topologicalvectorspace)） 凸集 徑向集 星形域 對稱集 凸錐（英語：Convexcone） 拓撲向量空間 巴拿赫空間 歐幾里得空間 希爾伯特空間 索伯列夫空間 局部凸（英語：Locallyconvextopologicalvectorspace） 賦範向量空間 (範數) 擬賦範空間 自反空間 拓撲張量積（英語：Topologicaltensorproduct） (希爾伯特空間中) 映射拓撲 對偶空間 算子拓撲（英語：Operatortopologies） 弱拓撲（英語：Weaktopology） 強拓撲（英語：Strongtopology） 拓撲的均勻收斂（英語：Topologyofuniformconvergence） 線性算子 伴隨 雙線性 形式 有界 /無界 連續線性 緊 Fredholm（英語：Fredholmoperator） 希爾伯特-施密特 泛函 正規 核型（英語：Nuclearoperator） 自伴 嚴格奇異算子（英語：Strictlysingularoperator） 跡類 有限秩 轉置（英語：Transposeofalinearmap） 酉 /么正 集合運算 代數內部 內部 閔可夫斯基和 極性集 算子理論（英語：Operatortheory） 巴拿赫代數（英語：Banachalgebra） C*-代數 譜(泛函分析) (譜半徑) 譜理論（英語：Spectraltheory）(譜定理) 極分解 奇異值分解 定理 阿爾澤拉－阿斯科利定理 巴拿赫-阿勞格魯定理 巴拿赫-馬祖爾定理（英語：Banach–Mazurtheorem） 貝爾綱定理 貝塞爾不等式 柯西-施瓦茨不等式 閉值域定理 閉圖定理 哈恩－巴拿赫定理 角谷不動點定理 不變子空間問題 Riesz延拓定理（英語：M.Rieszextensiontheorem） 開映射定理 拉克斯－米爾格拉姆定理 帕塞瓦爾恆等式 肖德爾不動點定理（英語：Schauderfixedpointtheorem） 分析 導數 (加托導數 泛函導數) 積分 (博赫納積分 佩蒂斯積分（英語：Pettisintegral）) 泛函演算（英語：Functionalcalculus） (波萊爾泛函演算（英語：Borelfunctionalcalculus） 連續泛函演算（英語：Continuousfunctionalcalculus）) 反函數定理 向量測度 弱可測函數 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=柯西-施瓦茨不等式&oldid=69395941」 分類：​奧古斯丁-路易·柯西代數不等式線性代數泛函分析 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةБеларускаяCatalàکوردیČeštinaCymraegDanskDeutschEnglishEspañolEestiفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語Қазақша한국어LietuviųമലയാളംNederlandsNorskbokmålPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийTaclḥitSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaไทยTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt 編輯連結