留数理论| 中文数学Wiki | Fandom

Cauchy 留数定理. 设函数 {\displaystyle f(z)} 在除去有限 ... 中文数学Wiki 導覽 首頁 討論 所有頁面 社區 互動式地圖 近期網誌 瀏覽內容 分類 數學 專案頁面 最常瀏覽 余切 几何分布 平面直角坐标系 双叶双曲面 复对数函数 双曲正弦 最新變更 度量空間 亚纯函数 二元实调和函数 三角恒等式 Riemann假說 Riemannζ函数 超几何方程 社群 入口網站 論壇 主要使用者 Natsunohikari 列维劳德 管理員 FANDOM 遊戲 電影 電視 wiki 探索wiki 社群中心 建立wiki 尚未註冊？ 註冊 登入 Advertisement 分類: 函數論、​單複變函數論 臺灣正體 不转换 简体 繁體 大陆简体 香港繁體 澳門繁體 大马简体 新加坡简体 留數理論 檢視原始碼 歷史 討論(0) 在複變函數中，留數理論是應用最廣泛的複分析理論，它的基礎是Cauchy積分公式。

目次 1留數 2留數的計算 3Cauchy留數定理 4無窮遠點的留數 5上下節 留數 設函數在有限複平面的某區域上有孤立奇點，而在的某一鄰域中解析，在該鄰域中作一簡單閉曲線，稱 為函數在處的留數（residue）。

若且唯若是可去奇點時，留數 留數的計算 假設同上，使用函數在處的洛朗展式求留數是通用方法，注意到洛朗係數 因此我們可以將函數在處作展開並關注前的係數即可計算出留數。

對於極點，尤其是階數比較小的極點，我們還有如下一系列方法可用： 設為的階極點，那麼留數有如下計算方法 特別地，一階極點的留數 二階極點的留數 此外，如果為的一階極點，那麼 Cauchy留數定理 設函數在除去有限個奇點的某單或復連通區域內解析，邊界上連續，則 特別地，沒有奇點時上述定理就是Cauchy積分定理，有單奇點時就是Cauchy積分公式。

上式告訴我們計算某（復）周線上的積分，歸結於計算該周線內部包圍的奇點的留數。

因此，我們一旦把握的解析區域中各奇點的留數，就可以計算解析區域中任意路徑的積分了。

無窮遠點的留數 設有在擴充複平面或其無界區域上的函數，且無窮遠點是的孤立奇點，那麼可以定義在無窮遠點的留數 其中，簡單閉曲線定義在無窮的鄰域（充分大以使區域中再無的其它奇點）內，的方向是順時針方向，這是閉曲線圍成的包含無窮遠點在內的區域的正向。

對於無窮留數，它的計算可以通過洛朗係數 也可以做變量替換，這樣就化為了新函數在處的留數計算問題。

可以證明，若設在擴充複平面上有有限個孤立奇點以及無窮奇點，那麼 這也就是說，無窮處的留數的相反數就是所有有限孤立奇點的留數之和。

有時候計算某個周線所圍成的區域的內部有較多的孤立奇點，而該區域的外部只有無窮奇點或較少的有限孤立奇點，則可以使用計算無窮留數的策略。

上下節 上一節：解析函數的孤立奇點/無窮遠點 下一節：留數的應用 單複變函數論（學科代碼：1104120，GB/T13745—2009） 複數理論 複平面▪複數列▪棣莫弗公式▪復球面▪歐拉公式▪復幾何 複變函數以及微分理論 複變函數的極限▪複變函數的連續性▪複變函數的導數▪解析函數▪復指數函數▪復三角函數▪復雙曲函數▪復指數系函數的幾何形態▪多值函數▪輻角函數▪複對數函數▪復根式函數▪復冪以及一般冪函數▪復反三角函數 複變函數的積分理論 複變函數的積分▪Cauchy積分定理▪複變函數的不定積分▪Cauchy積分公式▪Liouville定理▪Cauchy型積分 複變函數的級數理論 複數項級數▪複函數項級數、復冪級數▪解析函數的泰勒展式▪解析函數的零點性質▪解析函數的洛朗展式▪解析函數的孤立奇點▪解析函數的無窮遠點性質▪留數理論▪留數的應用▪對數留數 複變函數的幾何理論 解析變換▪分式線性變換▪共形映射▪解析開拓▪完全解析函數▪整函數▪亞純函數 所在位置：數學（110）→函數論（11041）→單複變函數論（1104120） 分類：​ 函數論 單複變函數論 除非另有註明，否則社區內容均使用CC-BY-SA授權條款。

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